题目
计算下列曲面积分:-|||-(3) iint xdydz+ydzdx+zdxdy, 其中∑为半球面 =sqrt ({R)^2-(x)^2-(y)^2} 的上侧;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
半球面 $z=\sqrt {{R}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 的上侧，即 $z\geq 0$，且 $x^2+y^2+z^2=R^2$。积分区域为半球面的上侧。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（散度定理）表明，对于一个闭合曲面S，其内部的向量场F的散度的体积积分等于该向量场在曲面S上的通量积分。即
$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$$
其中，$\mathbf{F} = (x, y, z)$，$\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3$。
步骤 3：计算体积积分
由于半球面的体积为 $\frac{2}{3}\pi R^3$，因此
$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = 3 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = 2\pi R^3$$
半球面 $z=\sqrt {{R}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 的上侧，即 $z\geq 0$，且 $x^2+y^2+z^2=R^2$。积分区域为半球面的上侧。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（散度定理）表明，对于一个闭合曲面S，其内部的向量场F的散度的体积积分等于该向量场在曲面S上的通量积分。即
$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$$
其中，$\mathbf{F} = (x, y, z)$，$\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3$。
步骤 3：计算体积积分
由于半球面的体积为 $\frac{2}{3}\pi R^3$，因此
$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = 3 \cdot \frac{2}{3}\pi R^3 = 2\pi R^3$$