题目

五、(本题12分)设(X,Y)的联合分布律为-|||-Y X -1 0 1-|||-0 0 a 0-|||-1 1/3 0 1/3-|||-(1)求a和X,Y的边缘分布律;(2)求ρxy; (3)问X与Y是否独立?说明理由.

题目解答

答案

解析

本题主要考查离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律、相关系数以及随机变量独立性的相关知识。解题思路如下：

  1. 求$a$和$X$，$Y$的边缘分布律：
    • 根据联合分布律的性质，所有概率之和为$1$，由此可求出$a$的值。
    • 边缘分布律是指随机变量$X$或$Y$单独的分布律，可通过对联合分布律中对应变量的取值的概率求和得到。
  2. 求$\rho_{XY}$：
    • 相关系数$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，需要先求出$E(X)$，$E(Y)$，$E(XY)$，进而得到$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。
    • 再求出$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$和$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$。
    • 最后代入公式计算$\rho_{XY}$。
  3. 判断$X$与$Y$是否独立：
    • 若$X$与$Y$相互独立，则对于任意的$i$，$j$，都有$P(X = x_i, Y = y_j) = P(X = x_i)P(Y = y_j)$。
    • 只需验证是否存在一组$i$，$j$使得上述等式不成立，若存在，则$X$与$Y$不独立。

具体计算过程

  1. 求$a$和$X$，$Y$的边缘分布律：
    • 因为联合分布律所有概率之和为$1$，即$0 + a + 0+\frac{1}{3}+0+\frac{1}{3}=1$，解得$a = \frac{1}{3}$。
    • $X$的边缘分布律：
      $P(X = -1)=0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$；
      $P(X = 0)=a + 0=\frac{1}{3}$；
      $P(X = 1)=0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$。
      所以$X$的边缘分布律为：
      $X$ $-1$ $0$ $1$
      $P$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$
    • $Y$的边缘分布律：
      $P(Y = 0)=0 + a+0=\frac{1}{3}$；
      $P(Y = 1)=\frac{1}{3}+0+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
      所以$Y$的边缘分布律为：
      $Y$ $0$ $1$
      $P$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{3}$
  2. 求$\rho_{XY}$：
    • 先求$E(X)$：
      $E(X)=(-1)\times\frac{1}{3}+0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{1}{3}=0$。
    • 求$E(Y)$：
      $E(Y)=0\times\frac{1}{3}+1\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$。
    • 求$E(XY)$：
      $E(XY)=(-1)\times0\times0+(-1)\times1\times\frac{1}{3}+0\times0\times\frac{1}{3}+0\times1\times0 + 1\times0\times0+1\times1\times\frac{1}{3}=0$。
    • 求$Cov(X,Y)$：
      $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 - 0\times\frac{2}{3}=0$。
    • 求$D(X)$：
      $E(X^2)=(-1)^2\times\frac{1}{3}+0^2\times\frac{1}{3}+1^2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，
      $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{2}{3}-0^2=\frac{2}{3}$。
    • 求$D(Y)$：
      $E(Y^2)=0^2\times\frac{1}{3}+1^2\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$，
      $D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=\frac{2}{3}-(\frac{2}{3})^2=\frac{2}{9}$。
    • 求$\rho_{XY}$：
      $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}=\frac{0}{\sqrt{\frac{2}{3}}\sqrt{\frac{2}{9}}}=0$。
  3. 判断$X$与$Y$是否独立：
    取$X = -1$，$Y = 0$，$P(X = -1,Y = 0)=0$，而$P(X = -1)=\frac{1}{3}$，$P(Y = 0)=\frac{1}{3}$，$P(X = -1)P(Y = 0)=\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}\neq0 = P(X = -1,Y = 0)$，所以$X$与$Y$不独立。