6.下列函数在给定区间上无界的是____.A.(1)/(x)sin(1)/(x), xin(0,1]B.xsin(1)/(x), xin(0,+infty)C.(1)/(x)sin x, xin(0,1]D.(1)/(x)sin x, xin(0,+infty)
题目解答
答案
逐项分析各函数在给定区间上的有界性：
-
选项A： $f(x) = \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$，$x \in (0,1]$。
当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，而 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 内振荡。因此，$f(x)$ 的值在 $(-\infty, +\infty)$ 内无界。例如，取 $x = \frac{1}{n\pi}$（$n \in \mathbb{N}^*$），则 $f(x) = n\pi \sin(n\pi) = 0$；取 $x = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，则 $f(x) = (2n\pi + \frac{\pi}{2}) \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \to +\infty$。故 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上无界。 -
选项B： $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$，$x \in (0,+\infty)$。
当 $x \to 0^+$ 时，$x \to 0$，$\sin \frac{1}{x}$ 有界，故 $f(x) \to 0$。当 $x \to +\infty$ 时，$x \to +\infty$，但 $\sin \frac{1}{x} \to 1$，故 $f(x) \to +\infty$。然而，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值为 $1$（当 $x = 1$ 时），且在 $x \to +\infty$ 时趋近于 $x$，但始终有界。实际上，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，因为 $|f(x)| \leq x$。 -
选项C： $f(x) = \frac{1}{x} \sin x$，$x \in (0,1]$。
当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 1$，故 $f(x) \to 1$。在 $(0,1]$ 上，$f(x)$ 连续且有界，最大值为 $1$。 -
选项D： $f(x) = \frac{1}{x} \sin x$，$x \in (0,+\infty)$。
当 $x \to 0^+$ 时，$f(x) \to 1$；当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\sin x}{x} \to 0$。因此，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，最大值为 $1$。
综上，只有选项A中的函数在给定区间上无界。
答案：A
解析
本题主要考查函数在给定区间上的有界性判断。判断函数有界性的关键在于分析函数在区间内的取值范围，若存在一个正数 $M$，使得对于区间内的所有 $x$，都有 $|f(x)| \leq M$，则函数有界；反之，则无界。我们将对每个选项逐一进行分析。
选项A
对于函数 $f(x) = \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$，$x \in (0,1]$。
当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，而 $\sin \frac{1}{x}$ 的值域始终在 $[-1,1]$ 内振荡。
为了更直观地说明函数无界，我们取特殊点进行分析：
- 取 $x = \frac{1}{n\pi}$（$n \in \mathbb{N}^*$），则 $f(x) = \frac{1}{\frac{1}{n\pi}} \sin(n\pi) = n\pi \times 0 = 0$。
- 取 $x = \frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}$，则 $f(x) = \frac{1}{\frac{1}{2n\pi + \frac{\pi}{2}}} \sin(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = (2n\pi + \frac{\pi}{2}) \times 1 = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$。
当 $n \to +\infty$ 时，$2n\pi + \frac{\pi}{2} \to +\infty$。
这表明随着 $x$ 趋近于 $0$，函数值可以无限增大，所以 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上无界。
选项B
对于函数 $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$，$x \in (0,+\infty)$。
- 当 $x \to 0^+$ 时，根据极限运算法则，$\lim\limits_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x}$，因为 $x \to 0$ 且 $\sin \frac{1}{x}$ 有界（$|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$），所以 $\lim\limits_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0$。
- 当 $x \to +\infty$ 时，令 $t = \frac{1}{x}$，则 $t \to 0^+$，$f(x) = x \sin \frac{1}{x} = \frac{\sin t}{t}$，根据重要极限 $\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，所以 $\lim\limits_{x \to +\infty} x \sin \frac{1}{x} = 1$。
又因为 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，所以 $|f(x)| = |x \sin \frac{1}{x}| \leq x$，但在整个区间 $(0,+\infty)$ 上，函数值始终不会超过某个固定的正数，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界。
选项C
对于函数 $f(x) = \frac{1}{x} \sin x$，$x \in (0,1]$。
当 $x \to 0^+$ 时，根据重要极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，所以 $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 1$。
因为函数 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上连续，且在 $x = 1$ 处，$f(1) = \sin 1$，所以函数在 $(0,1]$ 上有界，最大值为 $1$。
选项D
对于函数 $f(x) = \frac{1}{x} \sin x$，$x \in (0,+\infty)$。
- 当 $x \to 0^+$ 时，由重要极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，可得 $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 1$。
- 当 $x \to +\infty$ 时，因为 $|\sin x| \leq 1$，所以 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \sin x = 0$。
在整个区间 $(0,+\infty)$ 上，函数值始终不会超过某个固定的正数，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，最大值为 $1$。