设函数 (x)=dfrac (a{x)^2+2x-1}({x)^2+bx+1}, 已知直线 x=1 和 y=0 均为 y=f(x) 的渐近线,求,-|||-(1)常数a,b的值;-|||-(2)曲线 y=f(x) 的凹凸区间于拐点.

考查要点：本题主要考查函数的渐近线求解及二阶导数在判断曲线凹凸区间和拐点中的应用。

解题思路：

1. 渐近线分析：
   • 垂直渐近线：分母为零且分子不为零时对应的$x$值。
   • 水平渐近线：通过分子分母最高次项系数比确定。
2. 凹凸区间与拐点：
   • 求二阶导数，分析其符号变化，确定凹凸区间及拐点。

破题关键：

• 垂直渐近线：令分母$x^2 + bx + 1$在$x=1$处为零，解得$b$。
• 水平渐近线：分子二次项系数$a$与分母二次项系数比为零，得$a=0$。
• 二阶导数分析：通过$f''(x)$的符号变化确定凹凸区间及拐点。

(1) 求常数$a,b$的值

垂直渐近线$x=1$

分母在$x=1$处为零：
$1^2 + b \cdot 1 + 1 = 0 \implies b = -2.$

水平渐近线$y=0$

当$x \to \infty$时，函数趋近于分子二次项系数与分母二次项系数之比：
$\lim_{x \to \infty} \frac{a x^2}{x^2} = a = 0.$

结论：$a=0$，$b=-2$。

(2) 求凹凸区间与拐点

函数为：
$f(x) = \frac{2x - 1}{(x-1)^2}.$

一阶导数

$f'(x) = \frac{-2x}{(x-1)^3}.$

二阶导数

$f''(x) = \frac{4x + 2}{(x-1)^4}.$

分析二阶导数符号

• 分母：$(x-1)^4 > 0$（$x \neq 1$）。
• 分子：$4x + 2 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$。

区间划分：

1. 当$x < -\frac{1}{2}$时，$4x + 2 < 0 \implies f''(x) < 0$，凸区间。
2. 当$-\frac{1}{2} < x < 1$时，$4x + 2 > 0 \implies f''(x) > 0$，凹区间。
3. 当$x > 1$时，$4x + 2 > 0 \implies f''(x) > 0$，凹区间。

拐点

二阶导数符号在$x = -\frac{1}{2}$处改变，且$f(x)$在此处连续，故拐点为：
$\left( -\frac{1}{2}, f\left( -\frac{1}{2} \right) \right) = \left( -\frac{1}{2}, -\frac{8}{9} \right).$