用数列极限的定义证明：lim _(narrow infty )dfrac (3n+1)(2n+1)=dfrac (3)(2)-|||-__

考查要点：本题主要考查利用数列极限的定义进行证明的能力，需要掌握极限定义的逻辑结构，并能通过代数变形找到合适的自然数$N$。

解题核心思路：

1. 从极限定义出发，对任意给定的$\varepsilon > 0$，找到$N$使得当$n > N$时，$\left| \dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2} \right| < \varepsilon$。
2. 化简绝对值表达式，通过通分、分子展开等步骤，将不等式转化为关于$n$的线性不等式。
3. 解不等式确定$N$，根据变形后的不等式，选择适当的$N$确保条件成立。

破题关键点：

• 分子展开与化简：正确计算$\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2}$的绝对值表达式。
• 不等式变形技巧：将分式不等式转化为关于$n$的线性不等式，确定$N$的表达式。

步骤1：写出极限定义的不等式
根据极限定义，对任意$\varepsilon > 0$，存在自然数$N$，当$n > N$时，
$\left| \dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2} \right| < \varepsilon.$

步骤2：化简绝对值表达式
计算差值：
$\begin{aligned}\dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2} &= \dfrac{2(3n+1) - 3(2n+1)}{2(2n+1)} \\&= \dfrac{6n + 2 - 6n - 3}{2(2n+1)} \\&= \dfrac{-1}{2(2n+1)}.\end{aligned}$
取绝对值得：
$\left| \dfrac{3n+1}{2n+1} - \dfrac{3}{2} \right| = \dfrac{1}{2(2n+1)}.$

步骤3：建立不等式并求解$N$
要求$\dfrac{1}{2(2n+1)} < \varepsilon$，即：
$2(2n+1) > \dfrac{1}{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad 2n + 1 > \dfrac{1}{2\varepsilon}.$
进一步化简：
$2n > \dfrac{1}{2\varepsilon} - 1 \quad \Rightarrow \quad n > \dfrac{1}{4\varepsilon} - \dfrac{1}{2}.$
取自然数$N$为满足上述不等式的最小整数，例如：
$N = \left\lfloor \dfrac{1}{4\varepsilon} - \dfrac{1}{2} \right\rfloor + 1.$

步骤4：验证结论
当$n > N$时，必然有$n > \dfrac{1}{4\varepsilon} - \dfrac{1}{2}$，从而$\dfrac{1}{2(2n+1)} < \varepsilon$，即原式成立。