7.证明函数 f(x,y)= ^2+{y)^2}},(x)^2+(y)^2neq 0 0,(x)^2+(y)^2=0 . 在点(0,0)连续且偏导数存在,-|||-但偏导数在点(0,0)不连续,而f在点(0,0)可微.
题目解答
答案
解析
一、函数在点(0,0)连续的证明
函数连续性需验证：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)$。
当$x^2+y^2\neq0$时，\\(f(x,y)=(x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\)。
由于$\sin$函数的值域为$[-1,1]$，故：
$0\leq\left|(x^2+y^2)\sin\frac{1sqrt{x^2+y^2}}\right|\leqleq x^2+y^2$
当$(x,y)\to(0,0)$时，$x^2+y^2\to0$，由夹逼准则得：
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$
故$f(x,y)$在(0,0)连续。
二、偏导数在点(0,0)\存在的证明
偏导数定义：$f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}$，$f_y(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}$)。
1. 计算$f_x(0,0)$
当$f(x,0)=x^2\sin\frac{1}{|x|}$（因$x^2+y^2=x^2=x^2$），则：
$f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{|x|}-0}{x}=\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{|x|}$
由于$\sin\frac{1}{|x|}$有界，$x\to0$时$x$为无穷小，故极限为$0$，即$f_x(0,0)=0$。
2. 计算$f_y(0,0)$
同理，$f(0,y)=y^2\sin\frac{1}{|y|}$，则：
$f_y(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{y^2\sin\frac{1}{|y|}-0}{y}=\lim_{y\to0}y\sin\frac{1}{|y|}=0$
故偏导数$f_x(0,0),f_y(0,0)$均存在且为$0$。
三、偏导数在点(0,0)不连续的证明
需计算偏导数在$(x,y)\neq(0,0)$时的表达式，并验证$(x,y)\to(0,0)$时极限不存在。
1. 当$x^2+y^2\neq0$时，计算$f_x(x,y)$
利用乘积法则：
$f(x,y)=(x^2+y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$
令$r=\sqrt{x^2+y^2}$，则$f=r^2\sin\frac{1}{r}$，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$。
对$x$求偏导：
$f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial r}{\partial x}\cdot2r\sin\frac{1}{r}+r^2\cos\frac{1}{r}\cdot\left(-\frac{1}{r^2}\right)\cdot\frac{\partial r}{\partial x}$
$\\\(\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r})$，化简得：
$f_x=2x\sin\frac{1}{r}+\frac{x}{r^2}\cos\frac{1}{r}$
2. 验证$f_x在(0,0)$极限不存在
取路径$y=0$，$x\to0$（即沿x轴趋近）：
此时$f_x(x,0)=2x\sin\frac{1}{|x|}+\frac{x}{x^2}\cos\frac{1{|x|}=2x\sin\frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|}\cos\frac{1}{|x|}$
当$x\to0$时，$2x\sin\frac{1}{|x|}\to0$，但$\frac{1}{|x|}\cos\frac{1}{|x|}$极限不存在（$\cos$在\震荡)），故$f_x(x,y)\to(0,0)$时极限不存在，因此$f_x$在(0,0))不连续。
同理可证$f_y$在(0,0)不连续。
四、函数在点(0,0)可微的证明
函数可微的定义：$\Delta z=f_x(0,0)\Delta x + f_y(0,0)\Delta y + o(\rho)$，其中$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，需验证：
$f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)=f_x(0,0)\Delta x + f_y(0,0)\Delta y + o(\rho)$
1. 计算左边：
\\((0,0)附近，$f(\Delta x,\Delta y)=((\Delta x)^2+(\Delta y)^2)\sin\frac{1\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$，$f(0,0)=0$，故：
$f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2)\sin\frac{1\rho$
2. 右边：
$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，故右边为$0+0+o(\rho)=o(\rho)$。
3. 验证$(\Delta x)^2+(\Delta y)^2)\sin\frac{1}{\rho}=o(\rho)$
$\left|\frac{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2)\sin\frac{1}{\rho}}{\rho}\right|=\left|\rho^2\cdot\frac{\sin\frac{1\rho}{\rho}\right|=\rho\left|\sin\frac{1}{\rho}\right|\to0\quad(\rho\to0)$
故$(\Delta x)^2+(\Delta y)^2)\sin\frac{1}{\rho}=o(\rho)$，满足可微条件满足。