若向量组 alpha=(1,1,2)，beta=(1,1,-1)，gamma=(k,2,1) 线性相关，则 k= _____.

本题考查向量组线性相关的性质以及行列式的计算。解题思路是根据向量组线性相关的充要条件，即由这些向量构成的矩阵的行列式为零，先构造出矩阵，再计算其行列式，最后令行列式的值为零，解出$k$的值。

1. 构造矩阵：
   已知向量组$\alpha=(1,1,2)$，$\beta=(1,1,-1)$，$\gamma=(k,2,1)$，将它们按列构成矩阵$A$：
   $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$
2. 计算行列式$\det(A)$：
   根据三阶行列式按第一行展开的法则$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，可得：
   $\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & k \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + k \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$
3. 计算二阶行列式的值：
   根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，分别计算上述三个二阶行列式：
   • $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot (-1) = 1 + 2 = 3$
   • $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 1 - 4 = -3$
   • $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2 = -1 - 2 = -3$
4. 将二阶行列式的值代入$\det(A)$并化简：
   $\det(A) = 1 \cdot 3 - 1 \cdot (-3) + k \cdot (-3) = 3 + 3 - 3k = 6 - 3k$
5. 令$\det(A)=0$，解出$k$的值：
   $6 - 3k = 0$
   移项可得$3k = 6$，两边同时除以$3$，解得$k = 2$。