3.当表达式Pdx+Qdy中函数P,Q取（ ）时，此式在其定义域内必为某一函数的全微分.A. P=(-y)/(x^2)+y^(2), Q=(x)/(x^2)+y^(2)B. P=(y)/(x^2)+y^(2), Q=(x)/(x^2)+y^(2)C. P=(x)/(x^2)+y^(2), Q=(-y)/(x^2)+y^(2)D. P=(x)/(x^2)+y^(2), Q=(y)/(x^2)+y^(2)

本题考查全微分的判定条件，解题思路是根据全微分的充要条件$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，对每个选项中的$P$和$Q$分别求关于$y$和$x$的偏导数，然后判断是否满足该条件。

选项A

已知$P = \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$，$Q = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}$。

• 求$\frac{\partial P}{\partial y}$：
  根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = -y$，$v = x^{2}+y^{2}$，则$u^\prime = -1$，$v^\prime = 2y$。
  $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-1\times(x^{2}+y^{2}) - (-y)\times2y}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{-x^{2}-y^{2}+2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}$
• 求$\frac{\partial Q}{\partial x}$：
  同样根据除法求导公式，其中$u = x$，$v = x^{2}+y^{2}$，则$u^\prime = 1$，$v^\prime = 2x$。
  $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1\times(x^{2}+y^{2}) - x\times2x}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}$
  虽然$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，但$P$和$Q$在$(0,0)$点无定义，不满足在其定义域内的条件，所以选项A错误。

选项B

已知$P = \frac{y}{x^{2}+y^{2}}$，$Q = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}$。

• 求$\frac{\partial P}{\partial y}$：
  根据除法求导公式，其中$u = y$，$v = x^{2}+y^{2}$，则$u^\prime = 1$，$v^\prime = 2y$。
  $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1\times(x^{2}+y^{2}) - y\times2y}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{x^{2}+y^{2}-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}$
• 求$\frac{\partial Q}{\partial x}$：
  根据除法求导公式，其中$u = x$，$v = x^{2}+y^{2}$，则$u^\prime = 1$，$v^\prime = 2x$。
  $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{1\times(x^{2}+y^{2}) - x\times2x}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^2}$
  因为$\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}$，所以选项B错误。

选项C

已知$P = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}$，$Q = \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$。

• 求$\frac{\partial P}{\partial y}$：
  根据除法求导公式，其中$u = x$，$v = x^{2}+y^{2}$，则$u^\prime = 0$，$v^\prime = 2y$。
  $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{0\times(x^{2}+y^{2}) - x\times2y}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^2}$
• 求$\frac{\partial Q}{\partial x}$：
  根据除法求导公式，其中$u = -y$，$v = x^{2}+y^{2}$，则$u^\prime = 0$，$v^\prime = 2x$。
  $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{0\times(x^{2}+y^{2}) - (-y)\times2x}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^2}$
  因为$\frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}$，所以选项C错误。

选项D

已知$P = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}$，$Q = \frac{y}{x^{2}+y^{2}}$。

• 求$\frac{\partial P}{\partial y}$：
  根据除法求导公式，其中$u = x$，$v = x^{2}+y^{2}$，则$u^\prime = 0$，$v^\prime = 2y$。
  $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{0\times(x^{2}+y^{2}) - x\times2y}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^2}$
• 求$\frac{\partial Q}{\partial x}$：
  根据除法求导公式，其中$u = y$，$v = x^{2}+y^{2}$，则$u^\prime = 0$，$v^\prime = 2x$。
  $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{0\times(x^{2}+y^{2}) - y\times2x}{(x^{2}+y^{2})^2}=\frac{-2xy}{(x^{2}+y^{2})^2}$
  因为$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，且$P$和$Q$的定义域为$\{(x,y)|x^2 + y^2\neq 0\}$，满足在其定义域内的条件，所以选项D正确。