题目
求(x)=x|x-4|-2ln x的单调区间极值及其图形的凹凸区间和拐点
求
的单调区间极值及其图形的凹凸区间和拐点
题目解答
答案
需要求出函数 f(x) 的定义域，因为有 ln x ，所以 x > 0 。
接下来将函数 f(x) 写成分段函数的形式：
当
，即
时，
。
当 x - 4 < 0 ，即 0 < x < 4 时，
。
然后分别对分段函数求导：
当时，
。
令 f'(x) = 0 ，求解方程可得极值点。
当 0 < x < 4 时，
。
令 f'(x) = 0 ，求解方程可得极值点。
再求二阶导数 f''(x) ：
当 x ≥ 4 时，
。
当 0 < x < 4 时，
。
根据 f''(x) 的正负来确定凹凸区间和拐点。
答案：
当 0 < x < 1 时，f'(x) < 0 ，函数单调递减；当 1 < x < 4 时，f'(x) > 0 ，函数单调递增；当 x > 4 时，f'(x) > 0 ，函数单调递增。极小值为 f(1) = 3 。
当
时，
，函数图像下凸；当
时，f''(x) < 0 ，函数图像上凸；当 x > 4 时，f''(x) > 0 ，函数图像下凸。拐点为
。
解析
步骤 1：确定函数的定义域
由于函数$f(x)=x|x-4|-2\ln x$中包含$\ln x$，因此定义域为$x>0$。
步骤 2：将函数写成分段函数形式
根据$|x-4|$的定义，当$x-4\geqslant 0$，即$x\geqslant 4$时，$f(x)=x(x-4)-2\ln x=x^2-4x-2\ln x$。
当$x-4<0$，即$0
步骤 3：求导数
当$x\geqslant 4$时，$f'(x)=2x-4-\frac{2}{x}$。
当$0
步骤 4：求极值点
令$f'(x)=0$，求解方程。
当$x\geqslant 4$时，$2x-4-\frac{2}{x}=0$，解得$x=1$（舍去，因为$x\geqslant 4$）。
当$0
步骤 5：求二阶导数
当$x\geqslant 4$时，$f''(x)=2+\frac{2}{x^2}$。
当$0
步骤 6：确定凹凸区间和拐点
当$00$，函数图像下凸。
当$\sqrt{2}当$x>4$时，$f''(x)>0$，函数图像下凸。
拐点为$x=\sqrt{2}$。
步骤 7：确定单调区间
当$0当$10$，函数单调递增。
当$x>4$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。
极小值为$f(1)=3$。
由于函数$f(x)=x|x-4|-2\ln x$中包含$\ln x$，因此定义域为$x>0$。
步骤 2：将函数写成分段函数形式
根据$|x-4|$的定义，当$x-4\geqslant 0$，即$x\geqslant 4$时，$f(x)=x(x-4)-2\ln x=x^2-4x-2\ln x$。
当$x-4<0$，即$0
步骤 3：求导数
当$x\geqslant 4$时，$f'(x)=2x-4-\frac{2}{x}$。
当$0
步骤 4：求极值点
令$f'(x)=0$，求解方程。
当$x\geqslant 4$时，$2x-4-\frac{2}{x}=0$，解得$x=1$（舍去，因为$x\geqslant 4$）。
当$0
步骤 5：求二阶导数
当$x\geqslant 4$时，$f''(x)=2+\frac{2}{x^2}$。
当$0
步骤 6：确定凹凸区间和拐点
当$0
当$\sqrt{2}
拐点为$x=\sqrt{2}$。
步骤 7：确定单调区间
当$0
当$x>4$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。
极小值为$f(1)=3$。