题目
iiint_(Omega)(x+y+z)^2dxdydz= (), Omega: x^2+y^2+z^2leq2az 。 A. (28)/(15)pi a^4B. (32)/(13)pi a^4C. (32)/(15)pi a^5D. 2pi a^5
$\iiint_{\Omega}(x+y+z)^{2}dxdydz=$ (), $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq2az$ 。
- A. $\frac{28}{15}\pi a^{4}$
- B. $\frac{32}{13}\pi a^{4}$
- C. $\frac{32}{15}\pi a^{5}$
- D. $2\pi a^{5}$
题目解答
答案
将积分区域转换为球坐标系，其中 $x^2 + y^2 + z^2 \leq 2az$ 变为 $r \leq 2a\cos\theta$，且 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。被积函数 $(x+y+z)^2$ 在对称性下简化为 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$。
积分变为：
\[
\iiint r^4 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi
\]
先对 $r$ 积分得：
\[
\int_0^{2a\cos\theta} r^4 \, dr = \frac{(2a\cos\theta)^5}{5}
\]
再对 $\theta$ 积分（令 $u = \cos\theta$）：
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{32a^5\cos^5\theta}{5} \sin\theta \, d\theta = \frac{32a^5}{30} = \frac{16a^5}{15}
\]
最后对 $\phi$ 积分：
\[
\int_0^{2\pi} \frac{16a^5}{15} \, d\phi = \frac{32\pi a^5}{15}
\]
答案：$\boxed{C}$。
解析
步骤 1：转换坐标系
将积分区域 $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq2az$ 转换为球坐标系，其中 $x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$。因此，$x^{2}+y^{2}+z^{2} = r^{2}$，且 $r^{2} \leq 2ar\cos\theta$，即 $r \leq 2a\cos\theta$。积分区域 $\Omega$ 在球坐标系中表示为 $0 \leq r \leq 2a\cos\theta$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。
步骤 2：简化被积函数
被积函数 $(x+y+z)^{2}$ 在球坐标系中表示为 $(r\sin\theta\cos\phi + r\sin\theta\sin\phi + r\cos\theta)^{2} = r^{2}(\sin\theta\cos\phi + \sin\theta\sin\phi + \cos\theta)^{2}$。由于积分区域关于 $x$，$y$，$z$ 对称，可以简化为 $r^{2}$。
步骤 3：计算三重积分
将被积函数和积分区域代入三重积分，得到：\[ \iiint_{\Omega} r^{2} r^{2} \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2a\cos\theta} r^{4} \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] 先对 $r$ 积分：\[ \int_0^{2a\cos\theta} r^{4} \, dr = \frac{(2a\cos\theta)^{5}}{5} = \frac{32a^{5}\cos^{5}\theta}{5} \] 再对 $\theta$ 积分（令 $u = \cos\theta$）：\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{32a^{5}\cos^{5}\theta}{5} \sin\theta \, d\theta = \frac{32a^{5}}{5} \int_0^1 u^{5} \, du = \frac{32a^{5}}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{16a^{5}}{15} \] 最后对 $\phi$ 积分：\[ \int_0^{2\pi} \frac{16a^{5}}{15} \, d\phi = \frac{32\pi a^{5}}{15} \]
将积分区域 $\Omega: x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq2az$ 转换为球坐标系，其中 $x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$。因此，$x^{2}+y^{2}+z^{2} = r^{2}$，且 $r^{2} \leq 2ar\cos\theta$，即 $r \leq 2a\cos\theta$。积分区域 $\Omega$ 在球坐标系中表示为 $0 \leq r \leq 2a\cos\theta$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。
步骤 2：简化被积函数
被积函数 $(x+y+z)^{2}$ 在球坐标系中表示为 $(r\sin\theta\cos\phi + r\sin\theta\sin\phi + r\cos\theta)^{2} = r^{2}(\sin\theta\cos\phi + \sin\theta\sin\phi + \cos\theta)^{2}$。由于积分区域关于 $x$，$y$，$z$ 对称，可以简化为 $r^{2}$。
步骤 3：计算三重积分
将被积函数和积分区域代入三重积分，得到：\[ \iiint_{\Omega} r^{2} r^{2} \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2a\cos\theta} r^{4} \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi \] 先对 $r$ 积分：\[ \int_0^{2a\cos\theta} r^{4} \, dr = \frac{(2a\cos\theta)^{5}}{5} = \frac{32a^{5}\cos^{5}\theta}{5} \] 再对 $\theta$ 积分（令 $u = \cos\theta$）：\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{32a^{5}\cos^{5}\theta}{5} \sin\theta \, d\theta = \frac{32a^{5}}{5} \int_0^1 u^{5} \, du = \frac{32a^{5}}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{16a^{5}}{15} \] 最后对 $\phi$ 积分：\[ \int_0^{2\pi} \frac{16a^{5}}{15} \, d\phi = \frac{32\pi a^{5}}{15} \]