题目

下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察 x_n 的变化趋势，写出它们的极限：(1) (1)/(2^n)；(2) (-1)^n (1)/(n)；(3) 2 + (1)/(n^2)；(4) (n-1)/(n+1)；

下列各题中，哪些数列收敛，哪些数列发散？对收敛数列，通过观察 $\{x_n\}$ 的变化趋势，写出它们的极限： (1) $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$； (2) $\left\{(-1)^n \frac{1}{n}\right\}$； (3) $\left\{2 + \frac{1}{n^2}\right\}$； (4) $\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$；

题目解答

答案

我们来逐个分析这些数列的收敛性，并找出收敛数列的极限。 --- ### **(1) $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$** 这是一个指数衰减的数列。 - 当 $n \to \infty$ 时，$2^n \to \infty$，所以 $\frac{1}{2^n} \to 0$。 - **结论**：该数列收敛。 - **极限**：$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$ --- ### **(2) $\left\{(-1)^n \frac{1}{n}\right\}$** 这是一个交替符号的数列，但其绝对值 $\frac{1}{n} \to 0$。 - 虽然符号在交替，但绝对值趋于 0，所以整体趋于 0。 - **结论**：该数列收敛。 - **极限**：$\lim_{n \to \infty} (-1)^n \frac{1}{n} = 0$ --- ### **(3) $\left\{2 + \frac{1}{n^2}\right\}$** - $\frac{1}{n^2} \to 0$，所以 $2 + \frac{1}{n^2} \to 2$ - **结论**：该数列收敛。 - **极限**：$\lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n^2}\right) = 2$ --- ### **(4) $\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$** 我们可以化简这个表达式： $$ \frac{n-1}{n+1} = \frac{n+1 - 2}{n+1} = 1 - \frac{2}{n+1} $$ - 当 $n \to \infty$ 时，$\frac{2}{n+1} \to 0$，所以 $1 - \frac{2}{n+1} \to 1$ - **结论**：该数列收敛。 - **极限**：$\lim_{n \to \infty} \frac{n-1}{n+1} = 1$ --- ### **总结：** | 序号 | 数列 | 收敛/发散 | 极限 | |------|------|------------|-------| | (1) | $\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$ | 收敛 | 0 | | (2) | $\left\{(-1)^n \frac{1}{n}\right\}$ | 收敛 | 0 | | (3) | $\left\{2 + \frac{1}{n^2}\right\}$ | 收敛 | 2 | | (4) | $\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$ | 收敛 | 1 | --- ✅ **最终答案：** - 收敛的数列有：(1)、(2)、(3)、(4) - 发散的数列：无收敛数列的极限分别为： - (1) 极限为：$\boxed{0}$ - (2) 极限为：$\boxed{0}$ - (3) 极限为：$\boxed{2}$ - (4) 极限为：$\boxed{1}$

解析

本题主要考察数列收敛性的判断及收敛数列极限的的计算，核心思路是通过分析数列当$n \to \infty$时的变化趋势，判断是否趋近于某个确定常数来判断收敛性，若收敛则计算该常数作为极限。

(1) 数列$\left\{\frac{1}{2^n}\right\}$

该数列是指数型数列，指数函数$2^n$当$n \to \infty$时单调递增至无穷大，因此$\frac{1}{2^n}$单调递减至0，满足收敛，极限为0。

(2) 数列$\left\{(-1)^n \frac{1}{n}\right\}$

这是交替符号数列，其绝对值$\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}$ \to 0)（当$n \to \infty$时），根据“若数列绝对值收敛则数列收敛”的性质，该数列收敛，极限为0。

(3) 数列$\left\{2 + \frac{1}{n^2}\right\}$

数列可拆分为常数2与$\frac{1}{n^2}$之和，$\frac{1}{n^2}$当$n \to \infty$时趋近于0，故数列整体趋近于2，收敛，极限为2。

(4) 数列$\left\{\frac{n-1}{n+1}\right\}$

化简表达式：$\frac{n-1}{n+1} = \frac{(n+1)-2}{n+1} = 1 - \frac{2}{n+1}$，当$n \to \infty$时，$\frac{2}{n+1} \to 0$，故数列趋近于1，收敛，极限为1。