题目
2.当x→0时,(1-cosx)^2与sin^2 x相比,哪一个是高阶无穷小?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定无穷小量的阶数
无穷小量的阶数可以通过比较它们的极限来确定。当x→0时，我们可以通过泰勒展开来比较${(1-\cos x)}^{2}$和sin^2x的阶数。
步骤 2：泰勒展开
对于cosx，当x→0时，cosx的泰勒展开为：cosx = 1 - x^2/2 + O(x^4)。因此，1 - cosx = x^2/2 + O(x^4)。
步骤 3：计算${(1-\cos x)}^{2}$和sin^2x的阶数
根据步骤2，${(1-\cos x)}^{2}$ = (x^2/2 + O(x^4))^2 = x^4/4 + O(x^6)。而sin^2x的泰勒展开为：sin^2x = x^2 - x^4/3 + O(x^6)。
步骤 4：比较阶数
比较${(1-\cos x)}^{2}$和sin^2x的阶数，可以看出${(1-\cos x)}^{2}$的阶数为4，而sin^2x的阶数为2。因此，当x→0时，${(1-\cos x)}^{2}$是sin^2x的高阶无穷小。
无穷小量的阶数可以通过比较它们的极限来确定。当x→0时，我们可以通过泰勒展开来比较${(1-\cos x)}^{2}$和sin^2x的阶数。
步骤 2：泰勒展开
对于cosx，当x→0时，cosx的泰勒展开为：cosx = 1 - x^2/2 + O(x^4)。因此，1 - cosx = x^2/2 + O(x^4)。
步骤 3：计算${(1-\cos x)}^{2}$和sin^2x的阶数
根据步骤2，${(1-\cos x)}^{2}$ = (x^2/2 + O(x^4))^2 = x^4/4 + O(x^6)。而sin^2x的泰勒展开为：sin^2x = x^2 - x^4/3 + O(x^6)。
步骤 4：比较阶数
比较${(1-\cos x)}^{2}$和sin^2x的阶数，可以看出${(1-\cos x)}^{2}$的阶数为4，而sin^2x的阶数为2。因此，当x→0时，${(1-\cos x)}^{2}$是sin^2x的高阶无穷小。