题目
34、设 X_1, X_2 为随机变量, a, b 为常数, 则 E(aX_1 + bX_2) = aE(X_1) + bE(X_2). (2 分)A. 正确B. 错误
34、设 $X_1, X_2$ 为随机变量, $a, b$ 为常数, 则 $E(aX_1 + bX_2) = aE(X_1) + bE(X_2)$. (2 分) A. 正确 B. 错误
题目解答
答案
我们来分析这道题：
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### 题目：
设 $ X_1, X_2 $ 为随机变量，$ a, b $ 为常数，则：
$$
E(aX_1 + bX_2) = aE(X_1) + bE(X_2)
$$
判断这个等式是否成立。
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### 解题思路：
这个等式是关于**期望的线性性质**的一个基本结论。
#### 期望的线性性质包括两个方面：
1. **齐次性（Homogeneity）**：
对任意常数 $ a $ 和随机变量 $ X $，有：
$$
E(aX) = aE(X)
$$
2. **可加性（Additivity）**：
对任意两个随机变量 $ X_1, X_2 $，有：
$$
E(X_1 + X_2) = E(X_1) + E(X_2)
$$
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### 应用这两个性质：
我们来计算左边：
$$
E(aX_1 + bX_2)
$$
根据期望的可加性：
$$
= E(aX_1) + E(bX_2)
$$
再根据期望的齐次性：
$$
= aE(X_1) + bE(X_2)
$$
这正是右边的表达式。
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### 结论：
该等式成立，因此答案是：
$$
\boxed{\text{A. 正确}}
$$
解析
考查要点：本题主要考查期望的线性性质，即期望的齐次性和可加性。
解题核心思路：
利用期望的线性性质，将复合表达式分解为单独的期望运算，再结合常数因子进行计算。
破题关键点：
- 齐次性：常数与随机变量乘积的期望等于常数乘以期望。
- 可加性：两个随机变量和的期望等于各自期望的和。
这两个性质无需随机变量独立，因此无论$X_1$与$X_2$是否相关，等式均成立。
根据期望的线性性质，分步推导如下：
步骤1：应用可加性
将复合表达式分解为两个独立的期望：
$E(aX_1 + bX_2) = E(aX_1) + E(bX_2)$
步骤2：应用齐次性
对每个部分提取常数因子：
$E(aX_1) = aE(X_1), \quad E(bX_2) = bE(X_2)$
步骤3：合并结果
将两部分相加，得到最终形式：
$aE(X_1) + bE(X_2)$
结论：原等式成立，因此答案为正确。