下列式子正确的是 () ←-|||-A、 lim _(xarrow 0)dfrac (xy)({x)^2+(y)^2}=0 B、 lim _(xarrow 0)dfrac (xy)(x+y)=0 C、 lim _(xarrow 0)dfrac (x{y)^3}({x)^2+(y)^6}=0 D、 lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^2+(y)^2}({x)^4+(y)^4}=0

本题考查二元函数极限的计算与判断。解题的关键思路是通过不同的路径趋近于给定的点或者利用变量代换等方法来判断极限是否存在或者计算极限的值。

选项A

考虑函数$f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$，当$(x,y)$沿不同路径趋近于$(0,0)$时，极限值可能不同。
令$y = kx$（$k$为常数），则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x\cdot kx}{x^{2}+(kx)^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{kx^{2}}{x^{2}(1 + k^{2})}=\frac{k}{1 + k^{2}}$。
由于极限值与$k$有关，即沿不同直线$y = kx$趋近于$(0,0)$时极限值不同，所以$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}$不存在，A选项错误。

选项B

对于函数$f(x,y)=\frac{xy}{x + y}$，令$y=-x+x^{2}$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{xy}{x + y}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x(-x + x^{2})}{x+(-x + x^{2})}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{-x^{2}+x^{3}}{x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}(-1 + x)= - 1$。
这表明沿$y=-x+x^{2}$趋近于$(0,0)$时极限值为$-1$，而若令$y = x$，$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{xy}{x + y}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x\cdot x}{x + x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}}{2x}=0$。
由于沿不同路径趋近于$(0,0)$时极限值不同，所以$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{xy}{x + y}$不存在，B选项错误。

选项C

对于函数$f(x,y)=\frac{xy^{3}}{x^{2}+y^{6}}$，令$x = ty^{3}$（$t$为常数），则$\lim\limits_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}\frac{xy^{3}}{x^{2}+y^{6}}=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{ty^{3}\cdot y^{3}}{(ty^{3})^{2}+y^{6}}=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{ty^{6}}{t^{2}y^{6}+y^{6}}=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{t}{t^{2}+1}$。
极限值与$t$有关，即沿不同曲线$x = ty^{3}$趋近于$(0,0)$时极限值不同，所以$\lim\limits_{x\rightarrow 0,y\rightarrow 0}\frac{xy^{3}}{x^{2}+y^{6}}$不存在，C选项错误。

选项D

因为$x^{4}+y^{4}\geqslant 2x^{2}y^{2}$，则$0\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}+y^{4}}\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{2x^{2}y^{2}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}})$。
又因为$x^{4}+y^{4}\geqslant x^{4}$且$x^{4}+y^{4}\geqslant y^{4}$，所以$0\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}+y^{4}}\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{4}}$，同时$0\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}+y^{4}}\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{4}}=\frac{x^{2}}{y^{4}}+\frac{1}{y^{2}}$。
当$x\rightarrow\infty$时，$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^{2}} = 0$，$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{y^{2}} = 0$（这里$y$不影响$x\rightarrow\infty$时的极限情况）。
根据夹逼准则$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}+y^{4}} = 0$，D选项正确。