题目
设a^2+1=3a.b^2+1=3b,则代数式1/a^2+1/b^2的值为
设a^2+1=3a.b^2+1=3b,则代数式1/a^2+1/b^2的值为
题目解答
答案
因为a²+1=3a.b²+1=3b,
可知a,b都满足x²+1=3x
所以可以设a,b是此方程的两个不等根
x²-3x+1=0
根据韦达定理可得:
a+b=3
ab=1
a²+b²=(a+b)²-2ab=9-2=7
1/a²+1/b²=(a²+b²)/(ab)²=7
这是韦达定理一般是在初三的时候学的
解析
步骤 1：确定方程的根
给定条件为 \(a^2 + 1 = 3a\) 和 \(b^2 + 1 = 3b\)，可以将这两个方程重写为 \(a^2 - 3a + 1 = 0\) 和 \(b^2 - 3b + 1 = 0\)。这意味着 \(a\) 和 \(b\) 是方程 \(x^2 - 3x + 1 = 0\) 的根。
步骤 2：应用韦达定理
根据韦达定理，对于方程 \(x^2 - 3x + 1 = 0\)，其根的和 \(a + b = 3\)，根的乘积 \(ab = 1\)。
步骤 3：计算 \(a^2 + b^2\)
利用根的和与乘积，可以计算 \(a^2 + b^2\) 的值。根据恒等式 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)，代入 \(a + b = 3\) 和 \(ab = 1\)，得到 \(a^2 + b^2 = 3^2 - 2 \times 1 = 9 - 2 = 7\)。
步骤 4：计算 \(1/a^2 + 1/b^2\)
根据步骤 3 的结果，\(1/a^2 + 1/b^2 = (a^2 + b^2)/(ab)^2 = 7/1^2 = 7\)。
给定条件为 \(a^2 + 1 = 3a\) 和 \(b^2 + 1 = 3b\)，可以将这两个方程重写为 \(a^2 - 3a + 1 = 0\) 和 \(b^2 - 3b + 1 = 0\)。这意味着 \(a\) 和 \(b\) 是方程 \(x^2 - 3x + 1 = 0\) 的根。
步骤 2：应用韦达定理
根据韦达定理，对于方程 \(x^2 - 3x + 1 = 0\)，其根的和 \(a + b = 3\)，根的乘积 \(ab = 1\)。
步骤 3：计算 \(a^2 + b^2\)
利用根的和与乘积，可以计算 \(a^2 + b^2\) 的值。根据恒等式 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)，代入 \(a + b = 3\) 和 \(ab = 1\)，得到 \(a^2 + b^2 = 3^2 - 2 \times 1 = 9 - 2 = 7\)。
步骤 4：计算 \(1/a^2 + 1/b^2\)
根据步骤 3 的结果，\(1/a^2 + 1/b^2 = (a^2 + b^2)/(ab)^2 = 7/1^2 = 7\)。