题目
【题目】-|||-求下列向量组的极大线性无关组与秩:-|||-(alpha )_(1)=(6,4,1,-1,2),-|||-(alpha )_(2)=(1,0,2,3,-4),-|||-(alpha )_(3)=(1,4,-9,-16,22),-|||-(alpha )_(4)=(7,1,0,-1,3);
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵
构造矩阵A，将向量${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$分别作为矩阵的列向量。
$$
A = \begin{pmatrix}
6 & 1 & 1 & 7 \\
4 & 0 & 4 & 1 \\
1 & 2 & -9 & 0 \\
-1 & 3 & -16 & -1 \\
2 & -4 & 22 & 3
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：初等行变换
对矩阵A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵。
$$
A \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 2 & -9 & 0 \\
0 & -8 & 40 & 1 \\
0 & 5 & -25 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 24 \\
0 & 0 & 0 & -37
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：确定极大线性无关组
根据阶梯形矩阵，第1,2,4列构成列向量组的极大线性无关组，秩为3。由于初等行变换不改变列向量之间的线性关系，故A的第1,2,4列也构成A的列向量组的极大线性无关组，即${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{4}$是极大线性无关组。
构造矩阵A，将向量${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{3}$, ${\alpha }_{4}$分别作为矩阵的列向量。
$$
A = \begin{pmatrix}
6 & 1 & 1 & 7 \\
4 & 0 & 4 & 1 \\
1 & 2 & -9 & 0 \\
-1 & 3 & -16 & -1 \\
2 & -4 & 22 & 3
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：初等行变换
对矩阵A进行初等行变换，化为阶梯形矩阵。
$$
A \rightarrow \begin{pmatrix}
1 & 2 & -9 & 0 \\
0 & -8 & 40 & 1 \\
0 & 5 & -25 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 24 \\
0 & 0 & 0 & -37
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：确定极大线性无关组
根据阶梯形矩阵，第1,2,4列构成列向量组的极大线性无关组，秩为3。由于初等行变换不改变列向量之间的线性关系，故A的第1,2,4列也构成A的列向量组的极大线性无关组，即${\alpha }_{1}$, ${\alpha }_{2}$, ${\alpha }_{4}$是极大线性无关组。