2【单选题】已知I=iintlimits_(D)(cos y^2+sin x^2)dsigma，其中D是正方形域：0≤x≤1，0≤y≤1，则（）A. 1≤I≤2B. 1≤I≤sqrt(2)C. 0≤I≤2D. 0≤I≤sqrt(2)

本题考查二重积分的估值定理，解题思路是先利用二重积分的性质将被积函数拆分为两个二重积分之和，再分别对这两个二重积分进行估值，最后将两个估值结果相加得到原积分的取值范围。

步骤一：利用二重积分的性质拆分积分

根据二重积分的性质：若$f(x,y)=g(x,y)+h(x,y)$，则$\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\iint\limits_{D}g(x,y)d\sigma+\iint\limits_{D}h(x,y)d\sigma$。
已知$I = \iint\limits_{D}(\cos y^{2} + \sin x^{2})d\sigma$，其中$D$是正方形域$0\leq x\leq1$，$0\leq y\leq1$，则可将$I$拆分为：
$I = \iint\limits_{D}\cos y^{2}d\sigma + \iint\limits_{D}\sin x^{2}d\sigma$

步骤二：分别对两个积分进行估值

• 对$\iint\limits_{D}\cos y^{2}d\sigma$进行估值：
  在区域$D$上，$0\leq y\leq1$，根据余弦函数的单调性可知$\cos 1\leq\cos y^{2}\leq\cos 0 = 1$。
  由二重积分的估值定理：若$m\leq f(x,y)\leq M$，$(x,y)\in D$，$S_D$表示区域$D$的面积，则$mS_D\leq\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma\leq MS_D$。
  区域$D$是边长为$1$的正方形，其面积$S_D = 1\times1 = 1$，所以$\cos 1\times1\leq\iint\limits_{D}\cos y^{2}d\sigma\leq 1\times1$，即$\cos 1\leq\iint\limits_{D}\cos y^{2}d\sigma\leq 1$。
• 对$\iint\limits_{D}\sin x^{2}d\sigma$进行估值：
  在区域$D$上，$0\leq x\leq1$，根据正弦函数的单调性可知$\sin 0 = 0\leq\sin x^{2}\leq\sin 1$。
  同样根据二重积分的估值定理，可得$0\times1\leq\iint\limits_{D}\sin x^{2}d\sigma\leq\sin 1\times1$，即$0\leq\iint\limits_{D}\sin x^{2}d\sigma\leq\sin 1$。

步骤三：求$I$的取值范围

将上述两个积分的估值结果相加，可得：
$\cos 1 + 0\leq\iint\limits_{D}\cos y^{2}d\sigma + \iint\limits_{D}\sin x^{2}d\sigma\leq 1 + \sin 1$
即$\cos 1\leq I\leq 1 + \sin 1$。
因为$\cos 1\approx0.54$，$\sin 1\approx0.84$，所以$1\leq\cos 1 + \sin 1\leq 1 + \sin 1\leq\sqrt{2}$（$\cos 1 + \sin 1=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin 1)=\sqrt{2}\sin(1 + \frac{\pi}{4})$，$1+\frac{\pi}{4}\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，$\sin(1 + \frac{\pi}{4})\in(0,1)$，$\sqrt{2}\sin(1 + \frac{\pi}{4})\leq\sqrt{2}$）。
所以$1\leq I\leq\sqrt{2}$。