题目
设A=(α1，α2，α3)，其中α1=(1，0，1)T，α2=(1，1，2)T，α3=(1，2，α)T，B=(β1，β2)，其中β1=(-1，2，1)T，β2=(1，0，b)T． (Ⅰ)问a，b为何值时，β1，β2不能同时由α1，α2，α3线性表示． (Ⅱ)问a，b为何值时，β1，β2可同时由α1，α2，α3线性表示，并求出表达式．
设A=(α1，α2，α3)，其中α1=(1，0，1)T，α2=(1，1，2)T，α3=(1，2，α)T，B=(β1，β2)，其中β1=(-1，2，1)T，β2=(1，0，b)T．
(Ⅰ)问a，b为何值时，β1，β2不能同时由α1，α2，α3线性表示．
(Ⅱ)问a，b为何值时，β1，β2可同时由α1，α2，α3线性表示，并求出表达式．
题目解答
答案
对增广矩阵(A┆B)施行初等行变换有
(Ⅰ)当a=3，b≠1时，AX=B无解，即β1，β2不能同时由α1，α2，α3线性表示．
(Ⅱ)①当a≠3，对任意b，AX=B有唯一解η1，η2，记X=(η1，η2)．
Aη1=β1的解为(-3，2，0)T．
Aη2=β2的解为
即表达式为
β1＝-3α1+2α2+0α3，β2=
②当a=3，b=1时，AX=B有无穷多解．
Aη1=β1的解为
k(1，-2，1)T+(-2，0，1)T．
Aη2=β2的解为
l(1，-2，1)T+(1，0，0)T
故全部解为
其中，k，l为任意常数．
解析
步骤 1：构造增广矩阵
构造增广矩阵(A┆B)，其中A=(α_1，α_2，α_3)，B=(β_1，β_2)。矩阵A和B的元素已给出，因此可以构造出增广矩阵(A┆B)。
步骤 2：对增广矩阵进行初等行变换
对增广矩阵(A┆B)进行初等行变换，以简化矩阵并求解线性方程组。通过初等行变换，可以将矩阵化简为阶梯形矩阵，从而更容易分析线性方程组的解。
步骤 3：分析线性方程组的解
根据初等行变换后的矩阵，分析线性方程组的解。如果矩阵的秩小于未知数的个数，则线性方程组有无穷多解；如果矩阵的秩等于未知数的个数，则线性方程组有唯一解；如果矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则线性方程组无解。
步骤 4：确定a和b的值
根据线性方程组的解的情况，确定a和b的值。当线性方程组无解时，β_1，β_2不能同时由α_1，α_2，α_3线性表示；当线性方程组有唯一解或无穷多解时，β_1，β_2可同时由α_1，α_2，α_3线性表示。
步骤 5：求解线性方程组
当线性方程组有唯一解或无穷多解时，求解线性方程组，得到β_1，β_2由α_1，α_2，α_3线性表示的表达式。
构造增广矩阵(A┆B)，其中A=(α_1，α_2，α_3)，B=(β_1，β_2)。矩阵A和B的元素已给出，因此可以构造出增广矩阵(A┆B)。
步骤 2：对增广矩阵进行初等行变换
对增广矩阵(A┆B)进行初等行变换，以简化矩阵并求解线性方程组。通过初等行变换，可以将矩阵化简为阶梯形矩阵，从而更容易分析线性方程组的解。
步骤 3：分析线性方程组的解
根据初等行变换后的矩阵，分析线性方程组的解。如果矩阵的秩小于未知数的个数，则线性方程组有无穷多解；如果矩阵的秩等于未知数的个数，则线性方程组有唯一解；如果矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则线性方程组无解。
步骤 4：确定a和b的值
根据线性方程组的解的情况，确定a和b的值。当线性方程组无解时，β_1，β_2不能同时由α_1，α_2，α_3线性表示；当线性方程组有唯一解或无穷多解时，β_1，β_2可同时由α_1，α_2，α_3线性表示。
步骤 5：求解线性方程组
当线性方程组有唯一解或无穷多解时，求解线性方程组，得到β_1，β_2由α_1，α_2，α_3线性表示的表达式。