题目
练10:设3阶矩阵A的特征值为1, -1, 2,计算行列式||A 1. -2E A-|||-0 A
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算矩阵A的行列式
根据题目，矩阵A的特征值为1, -1, 2。矩阵A的行列式等于其特征值的乘积，即
$$|A| = 1 \times (-1) \times 2 = -2$$
步骤 2：计算矩阵A的伴随矩阵的行列式
矩阵A的伴随矩阵的行列式等于矩阵A的行列式的平方，即
$$|A'| = |A|^{3-1} = (-2)^2 = 4$$
步骤 3：计算给定行列式的值
给定行列式为
$$\left| \begin{array}{ccc}
|A| & -2E & A \\
0 & A & 0 \\
\end{array} \right|$$
其中E是单位矩阵。根据行列式的性质，可以将行列式分解为
$$|A|^6 \cdot (-1)^3 \cdot |A| \cdot |-2E|$$
代入已知的值，得到
$$(-2)^6 \times (-1)^3 \times 4 \times (-2)^3 = 2^{11} = 2048$$
根据题目，矩阵A的特征值为1, -1, 2。矩阵A的行列式等于其特征值的乘积，即
$$|A| = 1 \times (-1) \times 2 = -2$$
步骤 2：计算矩阵A的伴随矩阵的行列式
矩阵A的伴随矩阵的行列式等于矩阵A的行列式的平方，即
$$|A'| = |A|^{3-1} = (-2)^2 = 4$$
步骤 3：计算给定行列式的值
给定行列式为
$$\left| \begin{array}{ccc}
|A| & -2E & A \\
0 & A & 0 \\
\end{array} \right|$$
其中E是单位矩阵。根据行列式的性质，可以将行列式分解为
$$|A|^6 \cdot (-1)^3 \cdot |A| \cdot |-2E|$$
代入已知的值，得到
$$(-2)^6 \times (-1)^3 \times 4 \times (-2)^3 = 2^{11} = 2048$$