[题目]证明方程 =asin x+b(agt 0,bgt 0) 至少有一-|||-个不超过 a+b 的正根。

考查要点：本题主要考查利用零点定理证明方程根的存在性，需要构造适当的函数并分析其连续性和端点值的符号变化。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为$f(x) = x - a\sin x - b$，寻找$f(x)=0$的解。
2. 分析端点值：计算$f(0)$和$f(a+b)$的值，判断符号是否相反或为零。
3. 应用零点定理：若$f(0)$与$f(a+b)$异号，则区间$(0, a+b)$内存在零点；若$f(a+b)=0$，则$a+b$本身即为根。

破题关键点：

• 选择区间端点：通过代入$x=0$和$x=a+b$，利用$a>0$、$b>0$的条件简化计算。
• 处理$\sin(a+b)$的取值范围：明确$1 - \sin(a+b) \geq 0$，从而确定$f(a+b) \geq 0$。

构造函数：
定义函数$f(x) = x - a\sin x - b$，其中$a>0$，$b>0$。需证明$f(x)=0$在区间$(0, a+b]$内至少有一个解。

计算端点值：

1. 当$x=0$时：
   $f(0) = 0 - a\sin 0 - b = -b < 0.$
2. 当$x=a+b$时：
   $f(a+b) = (a+b) - a\sin(a+b) - b = a[1 - \sin(a+b)].$
   由于$\sin(a+b) \leq 1$，故$1 - \sin(a+b) \geq 0$，因此：
   $f(a+b) \geq 0.$

分情况讨论：

1. 若$f(a+b) = 0$：
   此时$x = a+b$是方程的根，且显然$a+b \leq a+b$，满足条件。
2. 若$f(a+b) > 0$：
   此时$f(0) < 0$且$f(a+b) > 0$，根据零点定理，连续函数$f(x)$在区间$(0, a+b)$内至少存在一个零点，即方程在$(0, a+b)$内有解。

结论：无论$f(a+b)$是否为零，方程$x = a\sin x + b$均存在一个不超过$a+b$的正根。