17 单选 (4分)函数f(x)在区间[1，2]上有定义，则f(x)满足（）A. 有界B. 连续C. 有最大值D. 单调时一定有界

本题考查函数在区间上的有界性、连续性、最值以及单调性之间的关系。解题思路是根据函数有界、连续、有最大值以及单调的定义，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

函数在区间$[1,2]$上有定义，并不一定意味着函数有界。例如函数$f(x)=\frac{1}{x - 1.5}$在区间$[1,2]$上有定义，但当$x$趋近于$1.5$时，$f(x)$趋近于无穷大，函数无界。所以选项A错误。

选项B

函数在区间$[1,2]$上有定义，不一定连续。连续的定义是$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$对于区间内的每一个$x_0$都成立。例如函数$f(x)=\begin{cases}1, & x = 1 \\ 2, & x = 2\end{cases}$在区间$[1,2]$上有定义，但在$x = 1$和$x = 2$处不连续。所以选项B错误。

选项C

函数在区间$[1,2]$上有定义，不一定有最大值。例如函数$f(x)=x$，$x\in(1,2)$（这里区间是开区间，不包含端点），在这个区间内函数值可以无限接近$2$，但取不到$2$，所以没有最大值。所以选项C错误。

选项D

若函数$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递增，则对于任意$x_1,x_2\in[1,2]$，当$x_1\lt{}x_2$时，$f(x_1)\leq f(x_2)$。那么$f(x)$在区间$[1,2]$上的最小值为$f(1)$，最大值为$f(2)$，即$f(1)\leq f(x)\leq f(2)$，所以函数有界。

若函数$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递减，则对于任意$x_1,x_2\in[1,2]$，当$x_1\lt{}x_2$时，$f(x_1)\geq f(x_2)$。那么$f(x)$在区间$[1,2]$上的最大值为$f(1)$，最小值为$f(2)$，即$f(2)\leq f(x)\leq f(1)$，所以函数有界。

因此，函数单调时一定有界，选项D正确。