题目

微分方程 x(dy)/(dx) = yln(y)/(x) 作变量代换 u = (y)/(x) 后，可化为以下哪个可分离变量的微分方程？A. x(du)/(dx) = u(ln u - 1)B. (du)/(dx) = ln u - 1C. x(du)/(dx) = ln uD. (du)/(dx) = uln u

微分方程 $x\frac{dy}{dx} = y\ln\frac{y}{x}$ 作变量代换 $u = \frac{y}{x}$ 后，可化为以下哪个可分离变量的微分方程？

A. $x\frac{du}{dx} = u(\ln u - 1)$

B. $\frac{du}{dx} = \ln u - 1$

C. $x\frac{du}{dx} = \ln u$

D. $\frac{du}{dx} = u\ln u$

题目解答

答案

A. $x\frac{du}{dx} = u(\ln u - 1)$

解析

本题考查知识点为通过变量代换将齐次微分方程化为可分离变量的微分方程。解题思路是先根据变量代换$u = \frac{y}{x}$得出$y$关于$x$和$u$的表达式，然后对其求导，再将$y$和$\frac{dy}{dx}$代入原微分方程，最后化简得到可分离变量的微分方程。

  1. 由$u = \frac{y}{x}$，可得$y = ux$。
  2. 对$y = ux$两边关于$x$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u$是关于$x$的函数，$v = x$，则有：
    • $\frac{dy}{dx}=\frac{d(ux)}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$。
  3. 将$y = ux$和$\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}$代入原微分方程$x\frac{dy}{dx} = y\ln\frac{y}{x}$中：
    • 因为$\frac{y}{x}=u$，所以原方程变为$x(u + x\frac{du}{dx}) = ux\ln u$。
  4. 化简上式：
    • 先将左边展开得$xu + x^{2}\frac{du}{dx}=ux\ln u$。
    • 两边同时除以$x$（$x\neq0$），得到$u + x\frac{du}{dx}=u\ln u$。
    • 移项可得$x\frac{du}{dx}=u\ln u - u$。
    • 提取公因式$u$，得到$x\frac{du}{dx}=u(\ln u - 1)$。