题目
计算二重积分int (int )_(D)^xydxdy 其中区域D是曲线 (({x)^2+(y)^2)}^2=(x)^2-(y)^2 与 ^2+(y)^2=x 在第一象限所围成的区域
计算二重积分
题目解答
答案
解：首先将直角坐标转化为极坐标为
又D是第一象限的区域，则
，因此，
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解析
步骤 1：确定极坐标下的区域
将直角坐标系下的曲线方程转化为极坐标系下的方程。对于曲线${({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}={x}^{2}-{y}^{2}$，在极坐标系下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则有${(r^2)}^2=r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta$，即$r^4=r^2\cos2\theta$，从而$r^2=\cos2\theta$。对于曲线${x}^{2}+{y}^{2}=x$，在极坐标系下，有$r^2=r\cos\theta$，即$r=\cos\theta$。因此，区域D在极坐标系下由$r=\cos\theta$和$r^2=\cos2\theta$在第一象限所围成。
步骤 2：确定积分的极坐标形式
将二重积分xydxdy转化为极坐标下的形式。在极坐标系下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，因此，原积分变为$\int\int r^2\cos\theta\sin\theta rdrd\theta$。
步骤 3：确定积分的范围
由于区域D在第一象限，因此$\theta$的范围是$(0,\dfrac{\pi}{2})$。对于$r$的范围，由$r=\cos\theta$和$r^2=\cos2\theta$确定。在第一象限，$r$的范围是$(0,1)$。
步骤 4：计算二重积分
将步骤2和步骤3的结果代入，计算二重积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^3\cos\theta\sin\theta drd\theta$。首先对$r$积分，得到$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{4}\cos\theta\sin\theta d\theta$。然后对$\theta$积分，得到$\frac{1}{8}$。
将直角坐标系下的曲线方程转化为极坐标系下的方程。对于曲线${({x}^{2}+{y}^{2})}^{2}={x}^{2}-{y}^{2}$，在极坐标系下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则有${(r^2)}^2=r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta$，即$r^4=r^2\cos2\theta$，从而$r^2=\cos2\theta$。对于曲线${x}^{2}+{y}^{2}=x$，在极坐标系下，有$r^2=r\cos\theta$，即$r=\cos\theta$。因此，区域D在极坐标系下由$r=\cos\theta$和$r^2=\cos2\theta$在第一象限所围成。
步骤 2：确定积分的极坐标形式
将二重积分xydxdy转化为极坐标下的形式。在极坐标系下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，因此，原积分变为$\int\int r^2\cos\theta\sin\theta rdrd\theta$。
步骤 3：确定积分的范围
由于区域D在第一象限，因此$\theta$的范围是$(0,\dfrac{\pi}{2})$。对于$r$的范围，由$r=\cos\theta$和$r^2=\cos2\theta$确定。在第一象限，$r$的范围是$(0,1)$。
步骤 4：计算二重积分
将步骤2和步骤3的结果代入，计算二重积分$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}r^3\cos\theta\sin\theta drd\theta$。首先对$r$积分，得到$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{4}\cos\theta\sin\theta d\theta$。然后对$\theta$积分，得到$\frac{1}{8}$。