题目
6.单选题 D由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域，则 二重积分iintlimits_(D)xydxdy的值为( )A. 1B. 3/2C. 9/8D. 1/2
6.单选题 D由直线y=1,x=2及y=x所围成的闭区域，则 二重积分$\iint\limits_{D}xydxdy$的值为( )
A. 1
B. 3/2
C. 9/8
D. 1/2
题目解答
答案
C. 9/8
解析
步骤 1：确定积分区域
区域 $D$ 由直线 $y=1$，$x=2$，和 $y=x$ 围成，可表示为 $1 \leq x \leq 2$，$1 \leq y \leq x$。
步骤 2：将二重积分转换为迭代积分
将二重积分转换为迭代积分： \[ \iint\limits_{D} xy \, dx \, dy = \int_{1}^{2} \int_{1}^{x} xy \, dy \, dx \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{1}^{x} xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{x} = \frac{x^3}{2} - \frac{x}{2} \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{1}^{2} \left( \frac{x^3}{2} - \frac{x}{2} \right) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int_{1}^{2} x^3 \, dx - \int_{1}^{2} x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{15}{4} - \frac{3}{2} \right) = \frac{9}{8} \]
区域 $D$ 由直线 $y=1$，$x=2$，和 $y=x$ 围成，可表示为 $1 \leq x \leq 2$，$1 \leq y \leq x$。
步骤 2：将二重积分转换为迭代积分
将二重积分转换为迭代积分： \[ \iint\limits_{D} xy \, dx \, dy = \int_{1}^{2} \int_{1}^{x} xy \, dy \, dx \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{1}^{x} xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{x} = \frac{x^3}{2} - \frac{x}{2} \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{1}^{2} \left( \frac{x^3}{2} - \frac{x}{2} \right) \, dx = \frac{1}{2} \left( \int_{1}^{2} x^3 \, dx - \int_{1}^{2} x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{15}{4} - \frac{3}{2} \right) = \frac{9}{8} \]