一、单选题（共12题，60.0分）1.（单选题，5.0分）10.下列关系式错误的是（）A overline(lnz)=lnbar(z)B overline(sinz)=sinbar(z)C overline(Lnz)=Lnbar(z)D overline(e^z)=e^bar(z)
题目解答
答案
答案：C
解析：
A. $\overline{\ln z} = \ln \bar{z}$
由复数对数性质，$\ln z = \ln r + i\theta$，其中 $r = |z|$，$\theta = \arg(z)$。
$\overline{\ln z} = \ln r - i\theta$，而 $\ln \bar{z} = \ln r + i(-\theta) = \ln r - i\theta$，故成立。
B. $\overline{\sin z} = \sin \bar{z}$
由复数正弦函数性质，$\sin z = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$，
$\overline{\sin z} = \sin x \cosh y - i \cos x \sinh y$，而 $\sin \bar{z} = \sin x \cosh y - i \cos x \sinh y$，故成立。
C. $\overline{\text{Ln } z} = \text{Ln } \bar{z}$
多值对数函数 $\text{Ln } z = \ln r + i(\theta + 2k\pi)$，
$\overline{\text{Ln } z} = \ln r - i(\theta + 2k\pi)$，而 $\text{Ln } \bar{z} = \ln r + i(-\theta + 2m\pi)$，
仅当 $k = -m$ 时成立，但主值分支下不恒成立，故错误。
D. $\overline{e^z} = e^{\bar{z}}$
由复数指数函数性质，$e^z = e^x(\cos y + i \sin y)$，
$\overline{e^z} = e^x(\cos y - i \sin y) = e^{x-yi} = e^{\bar{z}}$，故成立。
结论： 错误的关系式是 $\boxed{C}$。
解析
本题主要考查复数的对数函数、正弦函数、指数函数的共轭性质。解题思路是分别对每个选项中的等式，根据相应函数的定义和性质，求出等式两边的值，然后判断等式是否成立。
选项A
已知复数对数性质$\ln z = \ln r + i\theta$，其中$r = |z|$，$\theta = \arg(z)$。
- 先求$\overline{\ln z}$：
对$\ln z = \ln r + i\theta$取共轭，根据共轭复数的性质，实部不变，虚部变号，可得$\overline{\ln z} = \ln r - i\theta$。 - 再求$\ln \bar{z}$：
对于$\bar{z}$，其模$|\bar{z}| = r$，辐角$\arg(\bar{z}) = -\theta$，所以$\ln \bar{z} = \ln r + i(-\theta) = \ln r - i\theta$。
由于$\overline{\ln z} = \ln r - i\theta$且$\ln \bar{z} = \ln r - i\theta$，所以$\overline{\ln z} = \ln \bar{z}$，该选项成立。
选项B
已知复数正弦函数性质$\sin z = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$，其中$z = x + iy$。
- 先求$\overline{\sin z}$：
对$\sin z = \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y$取共轭，根据共轭复数的性质，实部不变，虚部变号，可得$\overline{\sin z} = \sin x \cosh y - i \cos x \sinh y$。 - 再求$\sin \bar{z}$：
因为$\bar{z} = x - iy$，将其代入$\sin z$的表达式中，可得$\sin \bar{z} = \sin x \cosh (-y) + i \cos x \sinh (-y)$。
根据双曲函数的性质$\cosh(-y)=\cosh y$，$\sinh(-y)=-\sinh y$，则$\sin \bar{z} = \sin x \cosh y - i \cos x \sinh y$。
由于$\overline{\sin z} = \sin x \cosh y - i \cos x \sinh y$且$\sin \bar{z} = \sin x \cosh y - i \cos x \sinh y$，所以$\overline{\sin z} = \sin \bar{z}$，该选项成立。
选项C
多值对数函数$\text{Ln } z = \ln r + i(\theta + 2k\pi)$，$k\in Z$。
- 先求$\overline{\text{Ln } z}$：
对$\text{Ln } z = \ln r + i(\theta + 2k\pi)$取共轭，根据共轭复数的性质，实部不变，虚部变号，可得$\overline{\text{Ln } z} = \ln r - i(\theta + 2k\pi)$。 - 再求$\text{Ln } \bar{z}$：
对于$\bar{z}$，其模$|\bar{z}| = r$，辐角$\arg(\bar{z}) = -\theta$，所以$\text{Ln } \bar{z} = \ln r + i(-\theta + 2m\pi)$，$m\in Z$。
一般情况下，$\ln r - i(\theta + 2k\pi)$与$\ln r + i(-\theta + 2m\pi)$并不相等，仅当$k = -m$时成立，但在主值分支下不恒成立，所以该选项错误。
选项D
已知复数指数函数性质$e^z = e^x(\cos y + i \sin y)$，其中$z = x + iy$。
- 先求$\overline{e^z}$：
对$e^z = e^x(\cos y + i \sin y)$取共轭，根据共轭复数的性质，实部不变，虚部变号，可得$\overline{e^z} = e^x(\cos y - i \sin y)$。
根据欧拉公式$e^{i\alpha}=\cos\alpha + i\sin\alpha$，则$e^x(\cos y - i \sin y)=e^x e^{-iy}=e^{x - iy}$。
因为$\bar{z} = x - iy$，所以$\overline{e^z} = e^{\bar{z}}$，该选项成立。