解方程 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_7e8f43fce8d9495be1e56a8b33129708.jpg+(e)^2=0.

考查要点：本题主要考查复数域中指数方程的解法，涉及欧拉公式的应用及复数指数函数的周期性。

解题核心思路：将方程转化为求复数指数等于实数-1的形式，利用欧拉公式结合复数的三角表示，分析实部与虚部分别满足的条件，最终结合周期性得到通解。

破题关键点：

1. 分离变量：将方程变形为$e^z = -1$。
2. 复数指数形式：设$z = x + yi$，利用$e^z = e^x (\cos y + i \sin y)$展开。
3. 实部与虚部分析：通过虚部为0确定$y$的可能取值，再结合实部等于-1求解$x$。
4. 周期性考虑：复数指数函数的周期为$2\pi i$，需引入整数参数表示所有可能解。

将方程$1 + e^z = 0$变形为：
$e^z = -1$

设$z = x + yi$（$x, y \in \mathbb{R}$），则：
$e^z = e^x (\cos y + i \sin y)$

根据等式$e^z = -1$，复数的实部和虚部分别对应：

1. 虚部为0：$\sin y = 0$，解得$y = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）。
2. 实部为-1：$e^x \cos y = -1$。

将$y = k\pi$代入实部方程：
$e^x \cos(k\pi) = -1 \quad \Rightarrow \quad e^x (-1)^k = -1$

分情况讨论：

• 当$k$为偶数：$(-1)^k = 1$，方程变为$e^x = -1$，无解（因$e^x > 0$）。
• 当$k$为奇数：$(-1)^k = -1$，方程变为$e^x = 1$，解得$x = 0$。

因此，解的形式为：
$z = 0 + (2m + 1)\pi i \quad (m \in \mathbb{Z})$

合并整数参数，最终通解为：
$z = (2k + 1)\pi i \quad (k \in \mathbb{Z})$