题目

甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先施工，用了15天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了9天。则乙工程队独立完成整个工程需要多少天？(以阿拉伯数字作答)

题目解答

答案

设整个工程量为单位“1”，按以下步骤求解乙队独立完成所需天数：

1. 计算甲队工作效率

甲队15天完成前半程（即 $\frac{1}{2}$），故其效率为：
$\frac{1/2}{15} = \frac{1}{30}$

2. 确定后半程合作时间

后半程用时比前半程少9天，即：
$15 - 9 = 6 \text{ 天}$

3. 设乙队效率并列方程求解

设乙队效率为 $x$，则甲乙合作效率为 $\frac{1}{30} + x$
合作6天完成 $\frac{1}{2}$ 工程，得方程：
$6 \left( \frac{1}{30} + x \right) = \frac{1}{2}$
解得：
$x = \frac{1}{20}$

4. 计算乙队独立完成总工程所需时间

乙队效率为 $\frac{1}{20}$，故独立完成需：
$1 \div \frac{1}{20} = 20 \text{ 天}$

解析

本题考查工程问题的解题能力，解题的关键在于明确工作总量、工作时间和工作效率之间的关系，即工作效率 = 工作总量÷工作时间，工作时间 = 工作总量÷工作效率。我们将按照以下步骤逐步求解乙工程队独立完成整个工程所需的时间：

计算甲队工作效率：
已知甲工程队用$15$天完成了工程的一半，也就是$\frac{1}{2}$。根据工作效率的计算公式，甲队的工作效率$v_{甲}$为：
$v_{甲}=\frac{\frac{1}{2}}{15}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{15}=\frac{1}{30}$
这表明甲队每天能完成整个工程的$\frac{1}{30}$。
确定后半程合作时间：
题目中提到剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了$9$天。前一半用时$15$天，所以后半程合作的时间$t_{合}$为：
$t_{合}=15 - 9 = 6$（天）
即甲、乙两队合作完成工程的另一半用了$6$天。
设乙队效率并列方程求解：
设乙队的工作效率为$v_{乙}$，那么甲、乙两队合作的工作效率$v_{合}$就为$v_{甲}+v_{乙}=\frac{1}{30}+v_{乙}$。
因为甲、乙合作$6$天完成了工程的$\frac{1}{2}$，根据工作总量 = 工作时间×工作效率，可列出方程：
$6\times(\frac{1}{30}+v_{乙})=\frac{1}{2}$
接下来求解这个方程：
首先展开括号得：$\frac{6}{30}+6v_{乙}=\frac{1}{2}$
化简$\frac{6}{30}$为$\frac{1}{5}$，则方程变为$\frac{1}{5}+6v_{乙}=\frac{1}{2}$
然后方程两边同时减去$\frac{1}{5}$：$6v_{乙}=\frac{1}{2}-\frac{1}{5}$
通分计算右边式子：$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}$
所以$6v_{乙}=\frac{3}{10}$
最后方程两边同时除以$6$：$v_{乙}=\frac{3}{10}\div6=\frac{3}{10}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{20}$
即乙队的工作效率是每天完成整个工程的$\frac{1}{20}$。
计算乙队独立完成总工程所需时间：
根据工作时间的计算公式，乙队独立完成整个工程所需的时间$t_{乙}$为：
$t_{乙}=\frac{1}{v_{乙}}=\frac{1}{\frac{1}{20}} = 1\times20 = 20$（天）