题目
25.[2019]求极限 lim _(xarrow infty )[ x-(x)^2ln (1+dfrac (1)(x)] )
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换极限形式
将原极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }[ x-{x}^{2}\ln (1+\dfrac {1}{x}] )$ 转换为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{x}^{2}[ \dfrac {1}{x}-\ln (1+\dfrac {1}{x})] $，这样可以将极限问题转化为关于 $\dfrac{1}{x}$ 的极限问题，便于后续处理。
步骤 2：利用泰勒展开
利用 $\ln(1+y)$ 在 $y=0$ 处的泰勒展开式 $\ln(1+y) = y - \dfrac{y^2}{2} + \dfrac{y^3}{3} - \cdots$，将 $\ln(1+\dfrac{1}{x})$ 展开为 $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2x^2} + \cdots$。
步骤 3：计算极限
将 $\ln(1+\dfrac{1}{x})$ 的泰勒展开式代入 $\lim _{x\rightarrow \infty }{x}^{2}[ \dfrac {1}{x}-\ln (1+\dfrac {1}{x})] $，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{x}^{2}\cdot \dfrac {1}{2{x}^{2}}$，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{2}$。
将原极限表达式 $\lim _{x\rightarrow \infty }[ x-{x}^{2}\ln (1+\dfrac {1}{x}] )$ 转换为 $\lim _{x\rightarrow \infty }{x}^{2}[ \dfrac {1}{x}-\ln (1+\dfrac {1}{x})] $，这样可以将极限问题转化为关于 $\dfrac{1}{x}$ 的极限问题，便于后续处理。
步骤 2：利用泰勒展开
利用 $\ln(1+y)$ 在 $y=0$ 处的泰勒展开式 $\ln(1+y) = y - \dfrac{y^2}{2} + \dfrac{y^3}{3} - \cdots$，将 $\ln(1+\dfrac{1}{x})$ 展开为 $\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{2x^2} + \cdots$。
步骤 3：计算极限
将 $\ln(1+\dfrac{1}{x})$ 的泰勒展开式代入 $\lim _{x\rightarrow \infty }{x}^{2}[ \dfrac {1}{x}-\ln (1+\dfrac {1}{x})] $，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }{x}^{2}\cdot \dfrac {1}{2{x}^{2}}$，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{2}$。