题目
20. lim _(xarrow infty )(3x-sqrt (a{x)^2-x+1})=dfrac (1)(6), 则 a=
题目解答
答案
解析
步骤 1：有理化处理
为了消除根号，我们对表达式进行有理化处理。将原式乘以共轭表达式，即：
$(3x-\sqrt {a{x}^{2}-x+1})\cdot \dfrac{3x+\sqrt {a{x}^{2}-x+1}}{3x+\sqrt {a{x}^{2}-x+1}}$
步骤 2：化简表达式
化简后得到：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{(3x)^2-(a{x}^{2}-x+1)}{3x+\sqrt {a{x}^{2}-x+1}}$
步骤 3：提取最高次项
提取分子和分母中的最高次项，得到：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{(9-a){x}^{2}+x-1}{3x+\sqrt {a{x}^{2}-x+1}}$
步骤 4：分析极限
由于极限值为$\dfrac{1}{6}$，分子的最高次项系数必须为0，即$9-a=0$，从而得到$a=9$。同时，分子的线性项系数为1，分母的线性项系数为3，因此有：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{x-1}{3x+\sqrt {9{x}^{2}-x+1}}=\dfrac{1}{6}$
步骤 5：验证
将$a=9$代入原式，验证极限值是否为$\dfrac{1}{6}$。
为了消除根号，我们对表达式进行有理化处理。将原式乘以共轭表达式，即：
$(3x-\sqrt {a{x}^{2}-x+1})\cdot \dfrac{3x+\sqrt {a{x}^{2}-x+1}}{3x+\sqrt {a{x}^{2}-x+1}}$
步骤 2：化简表达式
化简后得到：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{(3x)^2-(a{x}^{2}-x+1)}{3x+\sqrt {a{x}^{2}-x+1}}$
步骤 3：提取最高次项
提取分子和分母中的最高次项，得到：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{(9-a){x}^{2}+x-1}{3x+\sqrt {a{x}^{2}-x+1}}$
步骤 4：分析极限
由于极限值为$\dfrac{1}{6}$，分子的最高次项系数必须为0，即$9-a=0$，从而得到$a=9$。同时，分子的线性项系数为1，分母的线性项系数为3，因此有：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{x-1}{3x+\sqrt {9{x}^{2}-x+1}}=\dfrac{1}{6}$
步骤 5：验证
将$a=9$代入原式，验证极限值是否为$\dfrac{1}{6}$。