题目

4阶行列式 |a_(ij)| (i,j=1,2,3,4) 中，（1）副对角线元素之积 a_(14)a_(23)a_(32)a_(41) 的符号为 [填空1]（填“正或负”）（2）含 a_(12)a_(34) 的项且带负号的项是 [填空2]

4阶行列式 $|a_{ij}|$ ($i,j=1,2,3,4$) 中，
（1）副对角线元素之积 $a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$ 的符号为 [填空1]（填“正或负”）
（2）含 $a_{12}a_{34}$ 的项且带负号的项是 [填空2]

题目解答

(1) 副对角线元素之积为 $a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$，对应列标排列 $(4, 3, 2, 1)$。
逆序数计算：

答案： 正

(2) 含 $a_{12}a_{34}$ 的项形式为 $a_{12}a_{2j_2}a_{34}a_{4j_4}$，剩余列标为 $1, 3$。

排列 $(2, 1, 4, 3)$：逆序数 $1 + 0 + 1 + 0 = 2$（偶排列），符号为正
排列 $(2, 3, 4, 1)$：逆序数 $1 + 1 + 1 + 0 = 3$（奇排列），符号为负
答案： $a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}$

$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) 正} \\\text{(2) } a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}\end{array}}$

本题主要考查4阶行列式的定义及逆序数的计算。解题的关键在于理解行列式中项的符号由列标排列的逆序数决定，逆序数为偶数时该项符号为正，逆序数为奇数时该项符号为负。

（1）求副对角线元素之积 $a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$ 的符号

首先明确，在行列式中，项的符号由列标排列的逆序数决定。对于副对角线元素之积 $a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$，其列标排列为 $(4, 3, 2, 1)$。
然后计算逆序数，逆序数是指在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
- 对于数字 $4$，它后面比它小的数有 $3$ 个，即 $3$、$2$、$1$，所以有 $3$ 个逆序。
- 对于数字 $3$，它后面比它小的数有 $2$ 个，即 $2$、$1$，所以有 $2$ 个逆序。
- 对于数字 $2$，它后面比它小的数有 $1$ 个，即 $1$，所以有 $1$ 个逆序。
- 对于数字 $1$，它后面没有比它小的数，所以有 $0$ 个逆序。
- 那么列标排列 $(4, 3, 2, 1)$ 的逆序数为 $3 + 2 + 1+0 = 6$。
由于逆序数 $6$ 是偶数，根据行列式中项的符号规则，逆序数为偶数时该项符号为正，所以副对角线元素之积 $a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$ 的符号为正。

（2）求含 $a_{12}a_{34}$ 的项且带负号的项

因为行列式的每一项是取自不同行不同列的元素的乘积，已知含 $a_{12}a_{34}$，那么剩下的元素应该是 $a_{2j_2}a_{4j_4}$，其中 $j_2$ 和 $j_4$ 只能从 $1$ 和 $3$ 中选取，所以有两种可能的列标排列：$(2, 1, 4, 3)$ 和 $(2, 3, 4, 1)$。
对于列标排列 $(2, 1, 4, 3)$：
- 对于数字 $2$，它后面比它小的数有 $1$ 个，即 $1$，所以有 $1$ 个逆序。
- 对于数字 $1$，它后面没有比它小的数，所以有 $0$ 个逆序。
- 对于数字 $4$，它后面比它小的数有 $1$ 个，即 $3$，所以有 $1$ 个逆序。
- 对于数字 $3$，它后面没有比它小的数，所以有 $0$ 个逆序。
- 那么列标排列 $(2, 1, 4, 3)$ 的逆序数为 $1 + 0 + 1 + 0 = 2$，逆序数为偶数，所以该项符号为正。
对于列标排列 $(2, 3, 4, 1)$：
- 对于数字 $2$，它后面比它小的数有 $1$ 个，即 $1$，所以有 $1$ 个逆序。
- 对于数字 $3$，它后面比它小的数有 $1$ 个，即 $1$，所以有 $1$ 个逆序。
- 对于数字 $4$，它后面比它小的数有 $1$ 个，即 $1$，所以有 $1$ 个逆序。
- 对于数字 $1$，它后面没有比它小的数，所以有 $0$ 个逆序。
- 那么列标排列 $(2, 3, 4, 1)$ 的逆序数为 $1 + 1 + 1 + 0 = 3$，逆序数为奇数，所以该项符号为负。
所以含 $a_{12}a_{34}$ 的项且带负号的项是 $a_{12}a_{23}a_{34}a_{41}$。