题目
设 (x)=dfrac ({e)^x-b}((x-a)(x-b)) 有无穷间断点 =e, 可去间断点 =1, 则 (a,b)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定无穷间断点和可去间断点的条件
无穷间断点 x=e 意味着分母在 x=e 时为零，而分子不为零，即 $(x-e)$ 是分母的一个因子，但不是分子的因子。可去间断点 x=1 意味着分子和分母在 x=1 时都为零，即 $(x-1)$ 是分子和分母的公共因子。
步骤 2：根据条件确定 a 和 b 的值
由于 x=e 是无穷间断点，所以 $(x-e)$ 是分母的因子，即 $b=e$。由于 x=1 是可去间断点，所以 $(x-1)$ 是分子和分母的公共因子，即 $a=1$。
步骤 3：验证 a 和 b 的值
当 $a=1$ 和 $b=e$ 时，$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-e}{(x-1)(x-e)}$。在 x=1 时，分子和分母都为零，所以 x=1 是可去间断点。在 x=e 时，分子不为零，分母为零，所以 x=e 是无穷间断点。
无穷间断点 x=e 意味着分母在 x=e 时为零，而分子不为零，即 $(x-e)$ 是分母的一个因子，但不是分子的因子。可去间断点 x=1 意味着分子和分母在 x=1 时都为零，即 $(x-1)$ 是分子和分母的公共因子。
步骤 2：根据条件确定 a 和 b 的值
由于 x=e 是无穷间断点，所以 $(x-e)$ 是分母的因子，即 $b=e$。由于 x=1 是可去间断点，所以 $(x-1)$ 是分子和分母的公共因子，即 $a=1$。
步骤 3：验证 a 和 b 的值
当 $a=1$ 和 $b=e$ 时，$f(x)=\dfrac {{e}^{x}-e}{(x-1)(x-e)}$。在 x=1 时，分子和分母都为零，所以 x=1 是可去间断点。在 x=e 时，分子不为零，分母为零，所以 x=e 是无穷间断点。