全微分方程 (x^2-y)dx-xdy=0 的通解为() A. (1)/(3)x^3+xy=CB. -(1)/(3)x^3-xy=CC. -(1)/(3)x^3+xy=CD. (1)/(3)x^3-xy=C

为了求解全微分方程 $(x^2 - y)dx - xdy = 0$ 的通解，我们首先需要验证该方程是否为全微分方程。全微分方程的形式为 $P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$，其中 $P$ 和 $Q$ 满足 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。 对于给定的方程 $(x^2 - y)dx - xdy = 0$，我们有 $P(x, y) = x^2 - y$ 和 $Q(x, y) = -x$。计算偏导数，得到： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = -1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = -1. \] 由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，所以该方程是全微分方程。 接下来，我们求解全微分方程。全微分方程的通解 $u(x, y) = C$ 可以通过以下步骤找到： 1. 将 $P(x, y)$ 对 $x$ 积分，得到 $u(x, y)$ 的一个部分。 2. 将 $Q(x, y)$ 对 $y$ 积分，得到 $u(x, y)$ 的另一个部分。 3. 将两个部分合并，确保不重复计算任何项。 首先，将 $P(x, y) = x^2 - y$ 对 $x$ 积分： \[ \int (x^2 - y) \, dx = \frac{1}{3}x^3 - xy + f(y). \] 其中 $f(y)$ 是 $y$ 的任意函数。 接下来，将 $Q(x, y) = -x$ 对 $y$ 积分： \[ \int (-x) \, dy = -xy + g(x). \] 其中 $g(x)$ 是 $x$ 的任意函数。 将两个部分合并，我们得到： \[ u(x, y) = \frac{1}{3}x^3 - xy + C. \] 其中 $C$ 是常数。 因此，全微分方程 $(x^2 - y)dx - xdy = 0$ 的通解为： \[ \frac{1}{3}x^3 - xy = C. \] 所以，正确答案是 $\boxed{D}$。