题目

五 思维训练。一个数除以4余2，除以6余2，除以7余5，那么这个数最小是( )。

五 思维训练。 一个数除以4余2，除以6余2，除以7余5，那么这个数最小是( )。

题目解答

答案

根据题目给出的条件，我们可以进行如下推理：

  1. 分析前两个条件：
    题目说“一个数除以4余2，除以6余2”。
    这意味着，如果把这个数减去2，那么得到的结果既能被4整除，也能被6整除。
    也就是说，这个数减去2之后，是4和6的公倍数。

  2. 寻找公倍数：
    4和6的最小公倍数是12。
    因此，这个数减去2之后，必须是12的倍数。
    我们可以把这个数表示为：$12 \times n + 2$ （其中 $n$ 是整数，且 $n \ge 0$）。

  3. 结合第三个条件进行尝试：
    题目还说“除以7余5”。我们需要找到满足前面条件的数中，哪一个除以7余5，并且是最小的。
    我们来列举 $12 \times n + 2$ 的可能值：

    • 当 $n = 0$ 时，数为 $12 \times 0 + 2 = 2$。$2 \div 7 = 0 \dots 2$，不符合除以7余5。
    • 当 $n = 1$ 时，数为 $12 \times 1 + 2 = 14$。$14 \div 7 = 2 \dots 0$，不符合除以7余5。
    • 当 $n = 2$ 时，数为 $12 \times 2 + 2 = 26$。$26 \div 7 = 3 \dots 5$，符合除以7余5的条件。

因为题目要求的是这个数“最小”是多少，我们找到的第一个符合条件的数就是最小的。

结论：
这个数最小是 26。

解析

本题考查最小公倍数的应用以及通过列举法求解满足多个余数条件的最小数。解题思路如下：

  1. 首先分析前两个条件“一个数除以4余2，除以6余2”，根据余数的性质，若这个数减去2，那么得到的新数就能同时被4和6整除，所以这个数减去2之后是4和6的公倍数。
  2. 接着求4和6的最小公倍数，使用分解质因数法，$4 = 2\times2$，$6 = 2\times3$，所以4和6的最小公倍数为$2\times2\times3=12$，这表明这个数减去2之后是12的倍数，可将这个数表示为$12n + 2$（$n$为整数且$n\geq0$）。
  3. 然后结合第三个条件“除以7余5”，通过列举$12n + 2$的不同取值，计算其除以7的余数，找到满足除以7余5的最小数。
    • 当$n = 0$时，这个数为$12\times0 + 2=2$，计算$2\div7$，根据除法运算$2 = 7\times0+2$，即$2\div7 = 0\cdots\cdots2$，不符合除以7余5的条件。
    • 当$n = 1$时，这个数为$12\times1 + 2 = 14$，计算$14\div7$，根据除法运算$14=7\times2 + 0$，即$14\div7 = 2\cdots\cdots0$，不符合除以7余5的条件。
    • 当$n = 2$时，这个数为$12\times2 + 2=26$，计算$26\div7$，根据除法运算$26=7\times3+5$，即$26\div7 = 3\cdots\cdots5$，符合除以7余5的条件。