5.求下列极限:-|||-(1) lim _(narrow infty )(dfrac (1)(1+2)+dfrac (1)(1+2+3)+... +dfrac (1)(1+2+3+... +n));

步骤 1：求和公式
首先，我们需要知道等差数列的求和公式。对于等差数列 $1, 2, 3, \ldots, n$，其求和公式为：
$$
S_n = \frac{n(n+1)}{2}
$$
步骤 2：求和的倒数
根据步骤 1，我们可以得到：
$$
\frac{1}{1+2+3+\cdots+n} = \frac{2}{n(n+1)}
$$
步骤 3：求和的倒数的求和
接下来，我们需要求和：
$$
\sum_{k=2}^{n} \frac{2}{k(k+1)}
$$
我们可以将 $\frac{2}{k(k+1)}$ 分解为部分分式：
$$
\frac{2}{k(k+1)} = 2\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)
$$
因此，求和可以写为：
$$
\sum_{k=2}^{n} 2\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\right)
$$
这是一个部分和，可以简化为：
$$
2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}\right)
$$
步骤 4：求极限
最后，我们需要求极限：
$$
\lim_{n\rightarrow \infty} 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}\right)
$$
当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{1}{n+1}$ 趋于 0，因此：
$$
\lim_{n\rightarrow \infty} 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}\right) = 2\left(\frac{1}{2} - 0\right) = 1
$$