题目
3 10分 极限的计算 函数求极限求极限lim_(xto0)(e^-frac(x^{2)/(2))-1+(x^2)/(2)}(tan^2x-x^2).
3 10分 极限的计算 函数求极限
求极限$\lim_{x\to0}\frac{e^{-\frac{x^{2}}{2}}-1+\frac{x^{2}}{2}}{\tan^{2}x-x^{2}}$.
题目解答
答案
将分子和分母分别进行泰勒展开：
1. **分子展开**：
$e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)$，
故 $e^{-\frac{x^2}{2}} - 1 + \frac{x^2}{2} \approx \frac{x^4}{8}$。
2. **分母展开**：
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$，
$\tan^2 x = x^2 + \frac{2x^4}{3} + o(x^4)$，
故 $\tan^2 x - x^2 \approx \frac{2x^4}{3}$。
3. **计算极限**：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{8}}{\frac{2x^4}{3}} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{16} = \frac{3}{16}.
\]
**答案**：
$\boxed{\frac{3}{16}}$
解析
步骤 1：分子的泰勒展开
分子部分为 $e^{-\frac{x^2}{2}} - 1 + \frac{x^2}{2}$。根据泰勒展开公式，$e^{-\frac{x^2}{2}}$ 在 $x=0$ 处的展开式为 $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)$。因此，分子可以简化为 $\frac{x^4}{8} + o(x^4)$。
步骤 2：分母的泰勒展开
分母部分为 $\tan^2 x - x^2$。根据泰勒展开公式，$\tan x$ 在 $x=0$ 处的展开式为 $x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$。因此，$\tan^2 x$ 的展开式为 $x^2 + \frac{2x^4}{3} + o(x^4)$。分母可以简化为 $\frac{2x^4}{3} + o(x^4)$。
步骤 3：计算极限
将分子和分母的泰勒展开结果代入原极限表达式，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{8} + o(x^4)}{\frac{2x^4}{3} + o(x^4)}$。由于 $x \to 0$ 时，$o(x^4)$ 项趋于 $0$，因此极限值为 $\frac{\frac{1}{8}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{16}$。
分子部分为 $e^{-\frac{x^2}{2}} - 1 + \frac{x^2}{2}$。根据泰勒展开公式，$e^{-\frac{x^2}{2}}$ 在 $x=0$ 处的展开式为 $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + o(x^4)$。因此，分子可以简化为 $\frac{x^4}{8} + o(x^4)$。
步骤 2：分母的泰勒展开
分母部分为 $\tan^2 x - x^2$。根据泰勒展开公式，$\tan x$ 在 $x=0$ 处的展开式为 $x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$。因此，$\tan^2 x$ 的展开式为 $x^2 + \frac{2x^4}{3} + o(x^4)$。分母可以简化为 $\frac{2x^4}{3} + o(x^4)$。
步骤 3：计算极限
将分子和分母的泰勒展开结果代入原极限表达式，得到 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{8} + o(x^4)}{\frac{2x^4}{3} + o(x^4)}$。由于 $x \to 0$ 时，$o(x^4)$ 项趋于 $0$，因此极限值为 $\frac{\frac{1}{8}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{16}$。