题目
注 类似地，求极限lim_(xto0)(ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2))/(x^4).
注 类似地，
求极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)\ln(1-x)-\ln(1-x^{2})}{x^{4}}$.
题目解答
答案
利用泰勒展开式：
\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)
\]
\[
\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)
\]
\[
\ln(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)
\]
计算 $\ln(1+x)\ln(1-x)$：
\[
\ln(1+x)\ln(1-x) = -x^2 - \frac{5x^4}{12} + O(x^5)
\]
则：
\[
\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2) = \frac{x^4}{12} + O(x^5)
\]
求极限：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2)}{x^4} = \boxed{\frac{1}{12}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式求解极限的方法，重点在于对多个函数展开式的乘积运算及高阶无穷小的处理。
解题核心思路：
- 泰勒展开：将$\ln(1+x)$、$\ln(1-x)$、$\ln(1-x^2)$分别展开到足够高的阶数（至少到$x^4$项），确保后续运算中不会遗漏关键项。
- 乘积展开：计算$\ln(1+x)\ln(1-x)$的乘积展开式，保留到$x^4$项。
- 差运算：将乘积结果与$\ln(1-x^2)$相减，化简后得到分子的主部。
- 极限计算：通过分子主部与分母$x^4$的比值直接得出极限值。
破题关键点：
- 展开式的正确性：确保每个函数的展开式正确且阶数足够。
- 乘积展开的准确性：逐项相乘并收集各次幂的系数，避免遗漏。
- 高阶无穷小的处理：将高阶小项合并为$O(x^5)$，简化运算。
步骤1：展开各函数的泰勒多项式
- $\ln(1+x)$的展开式：
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)$ - $\ln(1-x)$的展开式：
$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)$ - $\ln(1-x^2)$的展开式：
$\ln(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)$
步骤2：计算$\ln(1+x)\ln(1-x)$的乘积
将两个多项式相乘，保留到$x^4$项：
$\begin{aligned} \ln(1+x)\ln(1-x) &= \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right)\left(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right) \\ &= -x^2 - \frac{5x^4}{12} + O(x^5). \end{aligned}$
步骤3：计算分子$\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2)$
将乘积结果与$\ln(1-x^2)$相减：
$\begin{aligned} &\quad \ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2) \\ &= \left(-x^2 - \frac{5x^4}{12}\right) - \left(-x^2 - \frac{x^4}{2}\right) + O(x^5) \\ &= \frac{x^4}{12} + O(x^5). \end{aligned}$
步骤4：求极限
分子主部为$\frac{x^4}{12}$，分母为$x^4$，故极限值为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^4}{12}}{x^4} = \frac{1}{12}.$