试证明:如果函数 =a(x)^3+b(x)^2+cx+d 满足条件 ^2-3aclt 0, 那么这函数没有-|||-极值.

考查要点：本题主要考查利用导数判断函数极值的存在性，涉及二次函数的判别式及图像性质的应用。

解题核心思路：

1. 求导：找到原函数的导数，分析其根的情况。
2. 判别式分析：通过导数的判别式判断导数是否为零，从而确定函数是否存在极值。
3. 导数符号判断：结合二次函数的开口方向，分析导数在整个定义域内的符号，进而判断函数的单调性。

破题关键点：

• 导数无实根：当判别式 $\Delta < 0$ 时，导数始终为正或始终为负，函数单调。
• 开口方向决定符号：二次项系数 $3a$ 的符号决定导数的图像开口方向，从而确定导数的符号。

步骤1：求导数
原函数为 $y = a x^3 + b x^2 + c x + d$，其导数为：
$y' = 3a x^2 + 2b x + c$

步骤2：分析导数的判别式
导数为二次函数，判别式为：
$\Delta = (2b)^2 - 4 \cdot 3a \cdot c = 4b^2 - 12ac = 4(b^2 - 3ac)$
根据题设条件 $b^2 - 3ac < 0$，可得 $\Delta < 0$，说明导数方程无实根。

步骤3：分析导数的符号

• 当 $a > 0$ 时：二次项系数 $3a > 0$，抛物线开口向上，且 $\Delta < 0$ 说明图像始终在x轴上方，故 $y' > 0$，函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。
• 当 $a < 0$ 时：二次项系数 $3a < 0$，抛物线开口向下，且 $\Delta < 0$ 说明图像始终在x轴下方，故 $y' < 0$，函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。

步骤4：结论
函数在整个定义域内单调，因此不存在极值点。