题目

设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= (1)/(2) e^-|x|，则函数 Y = |X| 的概率密度为 A f(y)= e^-y B f(y)= } 0, & y geq 0 e^-y, & y < 0

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \frac{1}{2} e^{-|x|}$，则函数 $Y = |X|$ 的概率密度为

A $f(y)= e^{-y}$

B $f(y)= \begin{cases} 0, & y \geq 0 \\ e^{-y}, & y < 0 \end{cases}$

C $f(y)= 2e^{-y}$

D $f(y)= \begin{cases} 0, & y < 0 \\ e^{-y}, & y \geq 0 \end{cases}$

题目解答

答案

为了找到函数 $ Y = |X| $ 的概率密度函数，已知 $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|} $，我们需要使用随机变量变换的方法。具体来说，我们需要找到 $ Y $ 的累积分布函数（CDF），然后对它求导得到 $ Y $ 的概率密度函数（PDF）。 ### 第1步：找到 $ Y $ 的累积分布函数（CDF） $ Y $ 的CDF，记为 $ F_Y(y) $，定义为 $ Y \leq y $ 的概率。由于 $ Y = |X| $，$ Y $ 总是非负的，所以 $ F_Y(y) = 0 $ 对于 $ y < 0 $。对于 $ y \geq 0 $， \[ F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(|X| \leq y) = P(-y \leq X \leq y). \] $ X $ 的概率密度函数为 $ f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|} $，所以我们可以写成 \[ F_Y(y) = \int_{-y}^{y} f(x) \, dx = \int_{-y}^{y} \frac{1}{2}e^{-|x|} \, dx. \] 由于 $ |x| = -x $ 对于 $ x \leq 0 $ 和 $ |x| = x $ 对于 $ x \geq 0 $，我们可以将积分分为两部分： \[ F_Y(y) = \int_{-y}^{0} \frac{1}{2}e^{x} \, dx + \int_{0}^{y} \frac{1}{2}e^{-x} \, dx. \] 分别计算每个积分，我们得到 \[ \int_{-y}^{0} \frac{1}{2}e^{x} \, dx = \frac{1}{2} \left[ e^x \right]_{-y}^{0} = \frac{1}{2} \left( e^0 - e^{-y} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-y} \right), \] 和 \[ \int_{0}^{y} \frac{1}{2}e^{-x} \, dx = \frac{1}{2} \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{y} = \frac{1}{2} \left( -e^{-y} + e^0 \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-y} \right). \] 将这两个结果相加，我们得到 \[ F_Y(y) = \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-y} \right) + \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-y} \right) = 1 - e^{-y}. \] 因此，$ Y $ 的CDF为 \[ F_Y(y) = \begin{cases} 0 & \text{如果 } y < 0, \\ 1 - e^{-y} & \text{如果 } y \geq 0. \end{cases} \] ### 第2步：找到 $ Y $ 的概率密度函数（PDF） $ Y $ 的PDF，记为 $ f_Y(y) $，是 $ Y $ 的CDF关于 $ y $ 的导数。所以，对于 $ y \geq 0 $， \[ f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{d}{dy} \left( 1 - e^{-y} \right) = e^{-y}. \] 对于 $ y < 0 $，$ f_Y(y) = 0 $。因此，$ Y $ 的PDF为 \[ f_Y(y) = \begin{cases} 0 & \text{如果 } y < 0, \\ e^{-y} & \text{如果 } y \geq 0. \end{cases} \] 因此，正确答案是 $\boxed{D}$。

解析

本题考察随机变量函数函数的概率密度求解，核心思路是先通过求\(累积分布函数CDF)，再对CDF求导得到概率密度函数(PDF)。 ## **步骤1：确定Y的累积分布范围** 随机变量$Y=|X|$，由于绝对值非负，故$Y\geq0$，因此当$y<0$时$Y$的CDF$F_Y(y)=0$。

步骤2：计算$y\geq0$时Y的CDF

$Y$的CDF定义为$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(|X|\leq y)=P(-y\leq X\leq y)$，需积分$X$的概率密度$f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}$：
$F_Y(y)=\int_{-y}^{y}\frac{1}{2}e^{-|x|}dx$
拆分积分区间（$x<0$时$|x=-x$，$x>0$时$|x|=x$）：
$F_Y(y)=\int_{-y}^0\frac{1}{2}e^x dx+\int_0^y\frac{1}{2}e^{-x}dx$
分别计算积分：
$\int_{-y}^0\frac{1}{2}e^x dx=\frac{1}{2}(1-e^{-y}),\quad\int_0^y\frac{1}{2}e^{-x}dx=\frac{1}{2}(1-e^{-y})$
相加得：
$F_Y(y)=\frac{1}{2}(1-e^{-y})+\frac{1}{2}(1-e^{-y})=1-e^{-y}$

步骤3：对CDF求导得PDF

对$F_Y(y)$求导：

  • $y<0$时，$F_Y(y)=0$，导数$f_Y(y)=0$
  • $y\geq0$时，$F_Y(y=1-e^{-y}$，导数$f_Y(y)=e^{-y}$

最终Y的PDF

$f_Y(y)=\begin{cases}0&y<0\\e^{-y}&y\geq0\end{cases}$