题目
不定积分int dfrac ({x)^3+1}(3+x)dx=_____________
不定积分
_____________
题目解答
答案
（其中C为任意常数）
解析
步骤 1：分解被积函数
将被积函数$\dfrac{{x}^{3}+1}{3+x}$分解为$\dfrac{{x}^{3}}{3+x}+\dfrac{1}{3+x}$，以便于分别求解。
步骤 2：对$\dfrac{{x}^{3}}{3+x}$进行多项式除法
将${x}^{3}$除以$3+x$，得到${x}^{2}-3x+9$，余数为$-27$，因此$\dfrac{{x}^{3}}{3+x}={x}^{2}-3x+9-\dfrac{27}{3+x}$。
步骤 3：求解不定积分
将分解后的被积函数代入不定积分，得到$\int({x}^{2}-3x+9)dx-27\int\dfrac{1}{3+x}dx$，分别求解这两个积分。
步骤 4：计算积分
$\int({x}^{2}-3x+9)dx=\dfrac{{x}^{3}}{3}-\dfrac{3{x}^{2}}{2}+9x+C_1$，$-27\int\dfrac{1}{3+x}dx=-27\ln|x+3|+C_2$，其中$C_1$和$C_2$为任意常数。
步骤 5：合并结果
将两个积分的结果合并，得到最终答案。
将被积函数$\dfrac{{x}^{3}+1}{3+x}$分解为$\dfrac{{x}^{3}}{3+x}+\dfrac{1}{3+x}$，以便于分别求解。
步骤 2：对$\dfrac{{x}^{3}}{3+x}$进行多项式除法
将${x}^{3}$除以$3+x$，得到${x}^{2}-3x+9$，余数为$-27$，因此$\dfrac{{x}^{3}}{3+x}={x}^{2}-3x+9-\dfrac{27}{3+x}$。
步骤 3：求解不定积分
将分解后的被积函数代入不定积分，得到$\int({x}^{2}-3x+9)dx-27\int\dfrac{1}{3+x}dx$，分别求解这两个积分。
步骤 4：计算积分
$\int({x}^{2}-3x+9)dx=\dfrac{{x}^{3}}{3}-\dfrac{3{x}^{2}}{2}+9x+C_1$，$-27\int\dfrac{1}{3+x}dx=-27\ln|x+3|+C_2$，其中$C_1$和$C_2$为任意常数。
步骤 5：合并结果
将两个积分的结果合并，得到最终答案。