题目

23.证明方程cosx+x=2在区间(0,π)内至少有一个实根.(6分)

题目解答

答案

定义函数 $f(x) = \cos x + x - 2$，在区间 $[0, \pi]$ 上连续。
计算端点值：
$f(0) = \cos 0 + 0 - 2 = -1 < 0$
$f(\pi) = \cos \pi + \pi - 2 = \pi - 3 > 0$
由零点存在定理，$f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内至少有一个零点，即方程 $\cos x + x = 2$ 在 $(0, \pi)$ 内至少有一个实根。

答案：
方程 $\cos x + x = 2$ 在区间 $(0, \pi)$ 内至少有一个实根。$\boxed{\text{得证}}$

解析

本题考查零点存在定理的应用。解题思路是先构造一个与给定方程相关的函数，然后判断该函数在给定区间上的连续性，接着计算函数在区间端点处的值，最后根据零点存在定理得出结论。

构造函数：
对于方程$\cos x + x = 2$，我们构造函数$f(x)=\cos x + x - 2$。
判断函数连续性：
因为$y = \cos x$和$y=x$在$R$上都是连续函数，两个连续函数的和与差仍然是连续函数，所以$f(x)=\cos x + x - 2$在$R$上连续，自然在闭区间$[0,\pi]$上也连续。
计算端点值：
- 当$x = 0$时，$f(0)=\cos 0+0 - 2$，根据三角函数特殊值$\cos 0 = 1$，可得$f(0)=1 + 0 - 2=-1\lt0$。
- 当$x=\pi$时，$f(\pi)=\cos \pi+\pi - 2$，根据三角函数特殊值$\cos \pi=-1$，可得$f(\pi)=-1+\pi - 2=\pi - 3$。
  因为$\pi\approx3.14\gt3$，所以$f(\pi)=\pi - 3\gt0$。
应用零点存在定理：
零点存在定理为：如果函数$y = f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)\lt0$，那么在开区间$(a,b)$内至少存在一个点$\xi$，使得$f(\xi)=0$。
由于$f(x)$在$[0,\pi]$上连续，且$f(0)\lt0$，$f(\pi)\gt0$，即$f(0)\cdot f(\pi)\lt0$，所以由零点存在定理可知，$f(x)$在$(0,\pi)$内至少有一个零点。
而函数$f(x)$的零点就是方程$\cos x + x - 2 = 0$（即$\cos x + x = 2$）的实根，所以方程$\cos x + x = 2$在区间$(0,\pi)$内至少有一个实根。