(1)给出事件A、B的例子,使得(i)P(A B)<P(A),(ii)P(A B)=P(A) (iii)P(A B)>P(A)(2)设事件A、B、C相互独立,证明:(i)C与AB相互独立 (ii)C与AB相互独立。(3)设事件A的概率P(A)=0,证明对于任意另一事件B,有A、B相互独立。(4)证明事件A、B相互独立的充要条件是P(A B)=P(A B)

答:(1)(i)当事件B发生会是事件A发生的概率减小时,P(A B)<P(A)

比如A是骑自行车上学的学生,B是男生,全集是所有学生

(ii)当事件B发生对A没有影响,即A、B互为独立事件时,P(A B)=P(A)

比如事件A是扔骰子得到一点,事件B是明天下雨。

(iii)当事件B发生会是事件A发生的概率增加时,P(A B)>P(A)

比如事件A是课余时间我去健身,事件B是课余时间室友们健身,显然他们很有可能对我的决定产生影响。

(2)(i)∵A、B、C相互独立

∴P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)

即P((AB)C)=P(AB)P(C) ∴C与AB相互独立

(ii)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

∴P(A∪B)P(C)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P((A∪B)C)

∴C与A∪B相互独立

(3)因ABA,故若P(A)=0,则

0≪P(AB)≪P(A)

从而 P(AB)=0=P(B)∙0=P(B)∙P(A)

按定义,A,B相互独立。

(4)必要性.设A,B相互独立,则A, 也相互独立,从而只P(A|B)=P(A), P(A|)=P(A).故P(A|B)= P(A|).

充分性.设P(A|B)= P(A|),按定义此式即表示

=

由比例的性质得

=