题目

3.已知β1,β2是非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同的解,α 1,α2是导出组 AX=0 的基本解系,k1,k2-|||-为任意常数,则 AX=b 的通解是 () 。-|||-(A) _(1)(a)_(1)+(k)_(2)((a)_(1)+(a)_(2))+dfrac ({beta )_(1)-(beta )_(2)}(2) (B) _(1)(alpha )_(1)+(k)_(2)((alpha )_(1)-(alpha )_(2))+dfrac ({beta )_(1)+(beta )_(2)}(2)-|||-(C) _(1)(a)_(1)+(k)_(2)((beta )_(1)+(beta )_(2))+dfrac ({beta )_(1)-(beta )_(2)}(2) (D) _(1)(alpha )_(1)+(k)_(2)((beta )_(1)-(beta )_(2))+dfrac ({beta )_(1)+(beta )_(2)}(2)

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组通解的结构，涉及齐次方程组的基础解系和非齐次方程特解的确定。

解题核心思路：

  1. 通解结构：非齐次方程的通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解。
  2. 齐次方程的通解：由基础解系的线性组合构成，需验证选项中齐次部分是否线性无关。
  3. 特解的确定：利用已知的两个特解β₁和β₂，通过线性组合构造新的特解（需满足系数和为1）。

破题关键点：

  • 基础解系的等价性：选项中齐次部分的向量需与原基础解系等价（线性无关且张成相同空间）。
  • 特解的合法性：特解必须满足非齐次方程，可通过β₁和β₂的线性组合构造（如$\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$）。

通解结构分析

  1. 齐次方程的通解：
    齐次方程的基础解系为α₁和α₂，通解形式为$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2$。
    选项B中齐次部分为$k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1 - \alpha_2)$，需验证$\alpha_1$与$\alpha_1 - \alpha_2$是否线性无关：

    • 若$k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1 - \alpha_2) = 0$，则$(k_1 + k_2)\alpha_1 - k_2\alpha_2 = 0$。
    • 由α₁、α₂线性无关，得$k_1 + k_2 = 0$且$k_2 = 0$，解得$k_1 = k_2 = 0$，故线性无关。
      因此，$\alpha_1$与$\alpha_1 - \alpha_2$可作为等价基础解系。

  2. 特解的构造：
    β₁和β₂均为非齐次方程的解，故$\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$也是特解（系数和为1）。

选项验证

  • 选项B：
    齐次部分正确，特解部分正确，符合通解结构。
  • 其他选项：
    • A：特解部分$\frac{\beta_1 - \beta_2}{2}$为齐次解，不合法。
    • C/D：齐次部分包含非基础解系向量（如β₁−β₂），无法覆盖整个解空间。