3.已知 =sqrt (n+1)-sqrt (n) , =sqrt (n+2)-sqrt (n+1) , gt 0 ,试比较a,b的大小.

考查要点：本题主要考查实数的大小比较，特别是涉及平方根差的表达式。关键在于通过分母有理化将表达式转换为易于比较的形式，进而利用分母大小关系判断分数值的大小。

解题思路：

1. 分母有理化：将$a$和$b$分别进行分母有理化，转化为分数形式。
2. 比较分母大小：通过观察分母的结构，发现分母的大小关系。
3. 分数比较：根据分母的大小关系，判断分数值的大小，从而得出$a$和$b$的大小关系。

破题关键：

• 分母有理化是简化表达式的有效手段，能将根式差转化为分数形式。
• 分母越大，分数值越小，这是比较分数大小的核心依据。

步骤1：对$a$进行分母有理化
$a = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

步骤2：对$b$进行分母有理化
$b = \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}$

步骤3：比较分母大小
分母分别为：

• $a$的分母：$\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$
• $b$的分母：$\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}$

显然，$\sqrt{n+2} > \sqrt{n+1}$，因此：
$\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1} > \sqrt{n+1} + \sqrt{n}$

步骤4：比较分数大小
分母越大，分数值越小，因此：
$\frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n+1}}$
即：
$a > b$