21【中等】求函数y=sqrt(arcsin(2x-1))的值域.

考查要点：本题主要考查复合函数的值域求解，涉及反三角函数和根号函数的定义域及值域分析。

解题核心思路：

1. 确定定义域：首先保证根号内的表达式非负，同时满足反正弦函数的参数范围。
2. 分析内层函数值域：确定反正弦函数$\arcsin(2x-1)$的取值范围。
3. 计算外层函数值域：将内层函数的值域代入根号函数，得到最终结果。

破题关键点：

• 定义域的双重限制：既要满足$\arcsin(2x-1)$的参数范围，又要保证其结果非负。
• 单调性应用：$\arcsin$在$[0,1]$上单调递增，根号函数也单调递增，可直接通过区间端点求值域。

1. 确定定义域

• 反正弦函数参数范围：由$\arcsin(2x-1)$存在，需满足$-1 \leq 2x-1 \leq 1$，解得$0 \leq x \leq 1$。
• 根号内非负：$\arcsin(2x-1) \geq 0$，即$2x-1 \geq 0$，解得$x \geq \frac{1}{2}$。
• 综合定义域：$\frac{1}{2} \leq x \leq 1$。

2. 分析$\arcsin(2x-1)$的值域

• 当$x \in \left[ \frac{1}{2}, 1 \right]$时，$2x-1 \in [0, 1]$。
• $\arcsin$在$[0,1]$上单调递增，故$\arcsin(2x-1) \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$。

3. 求$y$的值域

• $y = \sqrt{\arcsin(2x-1)}$，当$\arcsin(2x-1)$从$0$到$\frac{\pi}{2}$时，$y$从$0$到$\sqrt{\frac{\pi}{2}}$。
• 因此，值域为$\left[ 0, \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right]$。