1.（5.0分）设f(x,y)是二维随机变量，图像采集中合概率密度，f_(x)(x)与F_(y)(y)分别是关于X与Y的边缘概率密度，且X与Y相互独立，则有f(x,y)=（）。A. f_(x)(x)f_(y)(y)B. f_(x)(x)-f_(y)(y)C. f_(x)(x)+f_(y)(y)D. (f_(x)(x))/(f_(x)(y))

本题考查二维随机变量中随机变量相互独立时联合概率密度与边缘概率密度的关系。解题思路是根据二维随机变量相互独立的定义来推导联合概率密度的表达式。

对于二维随机变量$(X,Y)$，若$X$与$Y$相互独立，根据相互独立的定义可知，对于任意的$x,y$，事件$\{X\leq x\}$与$\{Y\leq y\}$相互独立，即$P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}P\{Y\leq y\}$。

设$F(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数，$F_X(x)$和$F_Y(y)$分别为$X$和$Y$的边缘分布函数，则有$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$。

因为概率密度函数是分布函数的导数，联合概率密度$f(x,y)=\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}$，边缘概率密度$f_X(x)=\frac{d F_X(x)}{dx}$，$f_Y(y)=\frac{d F_Y(y)}{dy}$。

对$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$求关于$x$和$y$的二阶混合偏导数：
$\begin{align*}f(x,y)&=\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}\\&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial F_X(x)F_Y(y)}{\partial x}\right)\\&=\frac{\partial}{\partial y}\left(F_X^\prime(x)F_Y(y)\right)\\&=F_X^\prime(x)F_Y^\prime(y)\\&=f_X(x)f_Y(y)\end{align*}$