24.[判断题]分部积分法int sqrt(x)sin sqrt(x)dx=-int xcos sqrt(x)+int cos sqrt(x)dx.A. 对B. 错

分部积分法的核心公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。本题的关键在于正确选择 $u$ 和 $dv$，并准确执行积分步骤。题目给出的等式是否成立，需通过分部积分的实际计算验证。

破题关键点：

1. 选择 $u$ 和 $dv$：通常选择 $u$ 为求导后简化部分，$dv$ 为易积分部分。
2. 分部积分后的展开与化简：需注意符号和积分项的完整性，避免遗漏项或计算错误。

步骤1：选择 $u$ 和 $dv$

设 $u = \sqrt{x}$，则 $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$；
设 $dv = \sin \sqrt{x} dx$，则 $v = \int \sin \sqrt{x} dx$。

步骤2：计算 $v = \int \sin \sqrt{x} dx$

令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t dt$，积分变为：
$\begin{aligned}v &= \int \sin t \cdot 2t dt = 2 \int t \sin t dt \\&\text{再次分部积分：设 } u_1 = t, \, dv_1 = \sin t dt \\&\Rightarrow du_1 = dt, \, v_1 = -\cos t \\&\Rightarrow 2 \left( -t \cos t + \int \cos t dt \right) = 2 \left( -t \cos t + \sin t \right) + C \\&= -2t \cos t + 2 \sin t + C = -2\sqrt{x} \cos \sqrt{x} + 2 \sin \sqrt{x} + C.\end{aligned}$

步骤3：应用分部积分公式

原积分 $\int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} dx$ 可展开为：
$\begin{aligned}\int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} dx &= u \cdot v - \int v \cdot du \\&= \sqrt{x} \left( -2\sqrt{x} \cos \sqrt{x} + 2 \sin \sqrt{x} \right) - \int \left( -2\sqrt{x} \cos \sqrt{x} + 2 \sin \sqrt{x} \right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \\&= -2x \cos \sqrt{x} + 2\sqrt{x} \sin \sqrt{x} - \int \left( -\cos \sqrt{x} + \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right) dx.\end{aligned}$

步骤4：对比题目等式

题目右侧为 $-\int x \cos \sqrt{x} dx + \int \cos \sqrt{x} dx$，而实际计算中包含额外项 $2\sqrt{x} \sin \sqrt{x}$ 和 $\int \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$，显然题目等式不完整且符号错误，因此答案为错。