题目
若随机变量×在区间×上服从均匀分布，则×（ ）A.×B.×C.×D.×
若随机变量
在区间
上服从均匀分布，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
由题意，随机变量在区间上服从均匀分布，则可以得到，
，
所以
所以答案选D。
解析
步骤 1：确定随机变量的分布函数
随机变量在区间(1,5)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[f(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{4}\quad 1\lt x\lt 5\\ 0\quad else\end{matrix} \right.\]
步骤 2：计算概率
根据概率密度函数，计算$P(0\lt X\lt 3)$，即在区间(0,3)上随机变量X的概率。由于随机变量在(1,5)区间上服从均匀分布，因此在(0,1)区间上概率为0，而在(1,3)区间上概率为：
\[P(0\lt X\lt 3) = P(1\lt X\lt 3) = {\int }_{1}^{3}\dfrac {1}{4}dx\]
步骤 3：计算积分
计算上述积分，得到：
\[P(0\lt X\lt 3) = {\int }_{1}^{3}\dfrac {1}{4}dx = \dfrac {1}{4}x{|}_{1}^{3} = \dfrac {3}{4}-\dfrac {1}{4} = \dfrac {1}{2}\]
随机变量在区间(1,5)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[f(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{4}\quad 1\lt x\lt 5\\ 0\quad else\end{matrix} \right.\]
步骤 2：计算概率
根据概率密度函数，计算$P(0\lt X\lt 3)$，即在区间(0,3)上随机变量X的概率。由于随机变量在(1,5)区间上服从均匀分布，因此在(0,1)区间上概率为0，而在(1,3)区间上概率为：
\[P(0\lt X\lt 3) = P(1\lt X\lt 3) = {\int }_{1}^{3}\dfrac {1}{4}dx\]
步骤 3：计算积分
计算上述积分，得到：
\[P(0\lt X\lt 3) = {\int }_{1}^{3}\dfrac {1}{4}dx = \dfrac {1}{4}x{|}_{1}^{3} = \dfrac {3}{4}-\dfrac {1}{4} = \dfrac {1}{2}\]