题目
已知数列(x_n)=(1+(-1)^n)^n，则________。A. lim_(n to infty) x_n neq infty，但无界B. 发散，但有界C. lim_(n to infty) x_n = 0D. lim_(n to infty) x_n = infty
已知数列$(x_n)=(1+(-1)^n)^n$，则________。 A. $\lim_{n \to \infty} x_n \neq \infty$，但无界 B. 发散，但有界 C. $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$ D. $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$
题目解答
答案
我们来分析数列：
$$
x_n = (1 + (-1)^n)^n
$$
---
### 第一步：分析数列的表达式
注意到 $ (-1)^n $ 是一个**周期性函数**，当 $ n $ 为偶数时，$ (-1)^n = 1 $，当 $ n $ 为奇数时，$ (-1)^n = -1 $。
因此，我们可以将数列 $ x_n $ 按奇偶项分开讨论：
- 当 $ n $ 为**偶数**时，$ x_n = (1 + 1)^n = 2^n $
- 当 $ n $ 为**奇数**时，$ x_n = (1 - 1)^n = 0^n = 0 $
所以这个数列的项是：
$$
x_1 = 0,\ x_2 = 2^2 = 4,\ x_3 = 0,\ x_4 = 2^4 = 16,\ x_5 = 0,\ x_6 = 2^6 = 64,\ \dots
$$
也就是说，这个数列在奇数项上为 0，偶数项上为 $ 2^n $，且随着 $ n \to \infty $，偶数项趋于无穷大。
---
### 第二步：分析极限是否存在
由于数列在奇数项为 0，偶数项为 $ 2^n \to \infty $，所以这个数列**没有极限**。
因为它的奇数项和偶数项分别趋向于不同的值（0 和无穷），所以：
$$
\lim_{n \to \infty} x_n \text{ 不存在}
$$
---
### 第三步：判断有界性
虽然奇数项为 0，但偶数项 $ x_n = 2^n \to \infty $，所以数列**无界**。
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### 第四步：选项分析
我们来看选项：
- **A.** $\lim_{n \to \infty} x_n \neq \infty$，但无界
✅ 正确！极限不存在，但数列无界。
- **B.** 发散，但有界
❌ 错误。虽然发散是对的，但数列无界。
- **C.** $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$
❌ 错误。极限不存在，不是 0。
- **D.** $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$
❌ 错误。极限不存在，不是无穷。
---
### ✅ 最终答案：
$$
\boxed{\text{A}}
$$
解析
考查要点：本题主要考查数列的极限存在性、有界性及发散性的判断，需要结合数列的奇偶项分别分析。
解题核心思路：
- 拆分奇偶项：利用$(-1)^n$的周期性，将数列分为奇数项和偶数项分别讨论。
- 判断极限存在性：若奇偶子列的极限不同或发散，则原数列无极限。
- 判断有界性：若存在子列无界，则原数列无界。
破题关键点：
- 奇偶项的表达式差异：奇数项恒为0，偶数项为$2^n$，导致数列行为分裂。
- 极限不存在的判定：奇偶子列的极限不一致，且偶数项子列发散到无穷。
- 无界性的判定：偶数项$2^n$随$n$增大无限增长，数列整体无界。
步骤1：拆分奇偶项
- 当$n$为偶数时，$(-1)^n = 1$，此时$x_n = (1+1)^n = 2^n$。
- 当$n$为奇数时，$(-1)^n = -1$，此时$x_n = (1-1)^n = 0^n = 0$。
步骤2：分析奇偶子列的极限
- 奇数项子列：$\lim_{k \to \infty} x_{2k-1} = \lim_{k \to \infty} 0 = 0$。
- 偶数项子列：$\lim_{k \to \infty} x_{2k} = \lim_{k \to \infty} 2^{2k} = +\infty$。
- 结论：奇偶子列的极限不一致，且偶数项子列发散到无穷，因此原数列$\lim_{n \to \infty} x_n$不存在。
步骤3：判断有界性
- 偶数项$x_{2k} = 2^{2k}$随$k$增大无限增长，对任意$M > 0$，存在$k$使得$2^{2k} > M$。
- 结论：数列无界。
步骤4：选项分析
- A：$\lim_{n \to \infty} x_n \neq \infty$（正确，极限不存在），且无界（正确）。
- B：发散（正确），但有界（错误）。
- C：$\lim_{n \to \infty} x_n = 0$（错误，极限不存在）。
- D：$\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$（错误，极限不存在）。