题目

（6）收敛，lim_(ntoinfty)(2^n-1)/(3^n)=0.

（6）收敛，$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}-1}{3^{n}}=0$.

题目解答

答案

将原式重写为： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 1}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right] \] 由于 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 均小于 1，当 $n \to \infty$ 时，$\left( \frac{2}{3} \right)^n$ 和 $\left( \frac{1}{3} \right)^n$ 均趋近于 0。因此，原极限为： \[ 0 - 0 = 0 \] **答案：** $\boxed{0}$

解析

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是涉及指数函数的极限问题。关键在于理解底数绝对值小于1的指数函数当n趋向于无穷大时的极限性质。

解题核心思路：将原式拆分为两个指数项的差，分别分析每个项的极限。由于两个底数$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{3}$均小于1，它们的n次方在n趋向于无穷大时均趋向于0，从而得出原式的极限。

破题关键点：

  1. 拆分分子，将原式转化为两个指数项的差。
  2. 利用指数函数的性质，判断每个项的极限值。
  3. 结合极限的线性性质，将两个极限结果相减得到最终答案。

将原式拆分为两个部分：
$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 1}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^n - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right]$

分析每个项的极限：

  1. 第一项$\left( \frac{2}{3} \right)^n$：
    • 底数$\frac{2}{3} < 1$，当$n \to \infty$时，$\left( \frac{2}{3} \right)^n \to 0$。
  2. 第二项$\left( \frac{1}{3} \right)^n$：
    • 底数$\frac{1}{3} < 1$，当$n \to \infty$时，$\left( \frac{1}{3} \right)^n \to 0$。

综合结果：
$\lim_{n \to \infty} \left[ 0 - 0 \right] = 0$