闭区间上仅有有限个间断点的函数必可积。A. 正确B. 错误

本题考查函数可积性的相关知识。解题的关键在于明确函数可积的条件以及闭区间上仅有有限个间断点的函数的性质。

要判断一个函数在闭区间上是否可积，我们需要依据可积的定义和相关定理。对于闭区间上仅有有限个间断点的函数，虽然它在一定程度上具有较好的性质，但并不一定满足可积的条件。

下面我们通过一个反例来证明该命题错误。考虑函数$f(x)=\begin{cases}1, & x\in\mathbb{Q}\cap[0,1]\\ -1, & x\in(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cap[0,1]\end{cases}$，这个函数在区间$[0,1]$上的间断点是整个区间$[0,1]$上的所有点，显然间断点是无限个。

我们使用黎曼和来分析其可积性。对于区间$[0,1]$的任意分割$T$：$0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = 1$，在每个小区间$[x_{i - 1}, x_i]$上，无论取何种介点$\xi_i$，当$\xi_i$为有理数时，$f(\xi_i)=1$；当$\xi_i$为无理数时，$f(\xi_i)= - 1$。

黎曼和$S_T=\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$，其中$\Delta x_i=x_i - x_{i - 1}$。

当我们取所有介点$\xi_i$都为有理数时，$S_T=\sum_{i = 1}^{n}1\cdot\Delta x_i = 1$；当我们取所有介点$\xi_i$都为无理数时，$S_T=\sum_{i = 1}^{n}(-1)\cdot\Delta x_i=-1$。

随着分割的细度$\lambda=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i\to0$，黎曼和的极限不存在，所以该函数在$[0,1]$上不可积。

这表明即使函数在闭区间上仅有有限个间断点，也不能保证它一定可积，因为存在一些特殊情况使得函数不满足可积的条件。